Упр.35.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Числа х, у, z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию, а числа x+y, y+z, z+x в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

а) Так как числа $$x, y, z$$ образуют арифметическую прогрессию, то

$$x+z=2y,$$

откуда

$$z=2y-x.$$

Так как эти же числа образуют геометрическую прогрессию, то

$$y^2=xz.$$

Подставим выражение для $$z$$:

$$y^2=x(2y-x),$$

$$y^2=2xy-x^2,$$

$$x^2-2xy+y^2=0,$$

$$\left(x-y\right)^2=0,$$

значит, $$x=y.$$ Тогда

$$z=2y-x=x.$$

Следовательно, $$x=y=z\neq 0.$$

б) Пусть $$x, y, z$$ — члены геометрической прогрессии. Тогда

$$y^2=xz.$$

Числа $$x+y,\, y+z,\, z+x$$ образуют арифметическую прогрессию, значит

$$\left(x+y\right)+\left(z+x\right)=2\left(y+z\right).$$

После преобразования получаем

$$2x+y+z=2y+2z,$$

$$z=2x-y.$$

Подставим это в равенство $$y^2=xz$$:

$$y^2=x(2x-y),$$

$$y^2+xy-2x^2=0.$$

Решим квадратное уравнение относительно $$y$$:

$$D=x^2+8x^2=9x^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{-x\pm 3x}{2}.$$

Тогда

$$y_1=x,\qquad y_2=-2x.$$

Найдём знаменатель геометрической прогрессии $$q=\frac{y}{x}$$:

при $$y=x$$ получаем $$q=1$$,

при $$y=-2x$$ получаем $$q=-2$$.

Ответ

а) $$x=y=z\neq 0$$;

б) $$q=-2$$ или $$q=1$$.