Упр.35.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: Три целых числа, сумма которых равна 21, можно рассматривать как три последовательных члена некоторой геометриче-ской прогрессии или как первый, второй и шестой члены некоторой арифметической прогрессии. Найдите эти числа. Постройте график функции y=|2x^2-4x-1|. При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком данной функции две общие точки?

Пусть данные числа равны $$a,\ b,\ c,$$ причём

$$a+b+c=21.$$

1) Если это первый, второй и шестой члены арифметической прогрессии, то

$$a_1=a,\quad a_2=b,\quad a_6=c.$$

Разность прогрессии:

$$d=b-a.$$

Тогда

$$a_6=a_1+5d,$$

то есть

$$c=a+5(b-a)=5b-4a.$$

Из условия суммы:

$$a+b+c=21,$$

$$a+b+5b-4a=21,$$

$$-3a+6b=21,$$

$$a=2b-7.$$

Тогда

$$c=5b-4(2b-7)=28-3b.$$

2) Так как числа являются последовательными членами геометрической прогрессии, то

$$b^2=ac.$$

Подставим найденные выражения:

$$b^2=(2b-7)(28-3b).$$

Раскроем скобки:

$$b^2=56b-6b^2-196+21b,$$

$$7b^2-77b+196=0,$$

$$b^2-11b+28=0,$$

$$\left(b-4\right)\left(b-7\right)=0.$$

Отсюда

$$b=4 \quad \text{или} \quad b=7.$$

Если $$b=4,$$ то

$$a=2\cdot 4-7=1,\qquad c=28-3\cdot 4=16.$$

Если $$b=7,$$ то

$$a=2\cdot 7-7=7,\qquad c=28-3\cdot 7=7.$$

Итак, искомые числа:

$$1,\ 4,\ 16 \quad \text{или} \quad 7,\ 7,\ 7.$$

Теперь рассмотрим функцию

$$y=\left|2x^2-4x-1\right|.$$

Сначала найдём вершину параболы $$y=2x^2-4x-1$$:

$$x_0=\frac{-(-4)}{2\cdot 2}=1,$$

$$y_0=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Значит, график функции $$y=\left|2x^2-4x-1\right|$$ получается из графика параболы $$y=2x^2-4x-1$$ отражением части, лежащей ниже оси $$Ox,$$ вверх.

Нули подмодульного выражения найдём из уравнения

$$2x^2-4x-1=0.$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=\frac{4\pm 2\sqrt6}{4}=1\pm \frac{\sqrt6}{2}.$$

Минимальное значение функции равно $$0,$$ а наибольшее значение на «средней» части графика достигает $$3$$ в вершине.

Прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки, если:

• $$m=0,$$ тогда прямая касается графика в двух точках — в нулях функции;
• $$m>3,$$ тогда горизонтальная прямая пересекает каждую из двух ветвей графика по одному разу.

При $$0<m<3$$ общих точек четыре, при $$m=3$$ — три, а при $$m<0$$ пересечений нет.

Ответ

$$1,\ 4,\ 16 \quad \text{или} \quad 7,\ 7,\ 7.$$

$$m=0 \quad \text{или} \quad m>3.$$