Упр.35.12 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (15-4n)/n является целым числом;
б) (12-5n)/n является натуральным числом.

Обозначим три последовательных члена арифметической прогрессии через $$a_1,\ a_2,\ a_3.$$ Тогда

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

По условию после преобразований получаем три последовательных члена геометрической прогрессии:

$$2a_1,\ a_2,\ a_3+6.$$

Так как второе число в 4 раза больше первого, то

$$a_2=4a_1.$$

Из свойства арифметической прогрессии:

$$4a_1=\frac{a_1+a_3}{2},$$

откуда

$$8a_1=a_1+a_3,$$

$$a_3=7a_1.$$

Теперь используем свойство геометрической прогрессии:

$$a_2^2=(2a_1)(a_3+6).$$

Подставим найденные выражения:

$$\left(4a_1\right)^2=2a_1(7a_1+6),$$

$$16a_1^2=14a_1^2+12a_1,$$

$$2a_1^2-12a_1=0,$$

$$2a_1(a_1-6)=0.$$

Так как прогрессия состоит из трёх последовательных чисел, получаем ненулевое решение:

$$a_1=6.$$

Тогда

$$a_2=4a_1=24,$$

$$a_3=7a_1=42.$$

Теперь решим задачу с дробями.

а) Найдём натуральные значения $$n,$$ при которых дробь

$$\frac{15-4n}{n}$$

является целым числом.

Преобразуем:

$$\frac{15-4n}{n}=\frac{15}{n}-4.$$

Чтобы выражение было целым, число $$\frac{15}{n}$$ должно быть целым, значит, $$n$$ — делитель числа $$15$$.

Натуральные делители числа $$15$$:

$$1,\ 3,\ 5,\ 15.$$

б) Найдём натуральные значения $$n,$$ при которых дробь

$$\frac{12-5n}{n}$$

является натуральным числом.

Преобразуем:

$$\frac{12-5n}{n}=\frac{12}{n}-5.$$

Это число должно быть натуральным, значит, $$\frac{12}{n}$$ — целое и

$$\frac{12}{n}-5>0.$$

Проверяем натуральные делители числа $$12$$:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12.$$

Подходят только те, при которых значение выражения положительно:

$$n=1,\ 2.$$

Ответ

$$6;\ 24;\ 42.$$

а) $$1,\ 3,\ 5,\ 15.$$

б) $$1,\ 2.$$