Упр.35.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
б) Найдите значение t, при котором числа t-5, v(7t), t+4 являются тремя последовательными членами геометрической последовательности. Клиент планирует взять кредит на сумму 9 100 000 р. Условия погашения кредита таковы:
— в декабре каждого года долг возрастает на 20% по сравнению с декабрём предыдущего года;
— после начисления процентов в декабре в течение января каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей требуется платить ежегодно, чтобы кредит был погашен тремя равными платежами (т. е. за 3 года)?
а) Для трёх последовательных членов геометрической прогрессии выполняется условие:
$$b^2=ac.$$
Значит, для чисел $$t-3,\;2\sqrt{t},\;t+2$$ имеем
$$\left(2\sqrt{t}\right)^2=(t-3)(t+2).$$
Тогда
$$4t=t^2-t-6,$$
$$t^2-5t-6=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25+24=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=-1,\quad t_2=6.$$
Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то $$t\ge 0$$. Поэтому подходит только $$t=6$$.
б) Для чисел $$t-5,\;\sqrt{7t},\;t+4$$ также используем условие геометрической прогрессии:
$$\left(\sqrt{7t}\right)^2=(t-5)(t+4).$$
Тогда
$$7t=t^2-t-20,$$
$$t^2-8t-20=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-20)=64+80=144,$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 12}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=-2,\quad t_2=10.$$
Так как $$7t\ge 0$$ и $$t-5,\;t+4$$ должны быть определены, подходит только $$t=10$$.
в) Пусть ежегодный платёж равен $$x$$ руб.
После первого года долг увеличивается на $$20\%$$, затем выплачивается $$x$$:
$$9\,100\,000\cdot 1{,}2-x.$$
После второго года:
$$\left(9\,100\,000\cdot 1{,}2-x\right)\cdot 1{,}2-x.$$
После третьего года долг должен стать равным нулю:
$$\left(\left(9\,100\,000\cdot 1{,}2-x\right)\cdot 1{,}2-x\right)\cdot 1{,}2-x=0.$$
Раскроем скобки:
$$9\,100\,000\cdot 1{,}2^3- x(1{,}2^2+1{,}2+1)=0.$$
Удобнее записать по шагам:
$$\left(\left(10\,920\,000-x\right)\cdot 1{,}2-x\right)\cdot 1{,}2-x=0,$$
$$\left(13\,104\,000-2{,}2x\right)\cdot 1{,}2-x=0,$$
$$15\,724\,800-2{,}64x-x=0,$$
$$15\,724\,800=3{,}64x,$$
$$x=4\,320\,000.$$
Ответ
а) $$6$$; б) $$10$$; в) $$4\,320\,000$$ руб.
