Упр.34.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Выразите данный член геометрической прогрессии $$(b_n)$$ через $$b_1$$ и $$q$$: а) $$b_2$$; в) $$b_6$$; д) $$b_k$$; б) $$b_3$$; г) $$b_{25}$$; е) $$b_{k+2}$$.
Найдите $$n$$-й член геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если: а) $$S=15,\ q=-\frac{1}{3},\ n=3$$; в) $$S=-20,\ q=-16,\ n=4$$; б) $$S=20,\ q=22,\ n=4$$; г) $$S=21,\ q=-\frac{1}{3},\ n=3$$.

Подробный ответ

Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}.$$ Поэтому:

а) $$b_2=b_1q^{2-1}=b_1q;$$
б) $$b_3=b_1q^{3-1}=b_1q^2;$$
в) $$b_6=b_1q^{6-1}=b_1q^5;$$
г) $$b_{25}=b_1q^{25-1}=b_1q^{24};$$
д) $$b_k=b_1q^{k-1};$$
е) $$b_{k+2}=b_1q^{k+2-1}=b_1q^{k+1}.$$

Найдём $$n$$-й член геометрической прогрессии.

а) $$S=15,\ q=-\frac13,\ n=3.$$
Для суммы первых $$n$$ членов при $$q\ne1$$:
$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}.$$

$$15=\frac{b_1\left(1-\left(-\frac13\right)^3\right)}{1+\frac13}$$
$$15=\frac{b_1\left(1+\frac1{27}\right)}{\frac43}$$
$$15=\frac{b_1\cdot \frac{28}{27}}{\frac43}$$
$$b_1=15\cdot \frac43\cdot \frac{27}{28}= \frac{135}{7}.$$

$$b_3=b_1q^2=\frac{135}{7}\cdot \frac19=\frac{15}{7}.$$

б) $$S=20,\ q=22,\ n=4.$$
Так как $$|q|>1,$$ сумма первых $$n$$ членов по формуле конечной геометрической прогрессии не задаётся в таком виде, поэтому решения нет.

в) $$S=20,\ q=-16,\ n=4.$$
Так как $$|q|>1,$$ сумма первых $$n$$ членов по формуле конечной геометрической прогрессии не задаётся в таком виде, поэтому решения нет.

г) $$S=21,\ q=-\frac13,\ n=3.$$

$$21=\frac{b_1\left(1-\left(-\frac13\right)^3\right)}{1+\frac13}$$
$$21=\frac{b_1\cdot \frac{28}{27}}{\frac43}$$
$$b_1=21\cdot \frac43\cdot \frac{27}{28}=27.$$

$$b_3=b_1q^2=27\cdot \frac19=3.$$