Упр.34.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) x_n=5^(n-1); в) x_n=2/3^n;
б) x_n=2n^2+1; г) x_n=3·2^n+1. Найдите первый член геометрической прогрессии (b_n), если:
а) S=10, q=0,1; в) S=6, q=-0,5;
б) S=-3, q=-1/3; г) S=-21, q=1/7.

1. Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией, то есть постоянным ли является отношение $$q=\frac{x_{n+1}}{x_n}$$.

   а) $$x_n=5^{n-1}$$

   $$q=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{5^n}{5^{n-1}}=5.$$
   Значит, это геометрическая прогрессия, причём $$q>1$$, поэтому она возрастающая.

   б) $$x_n=2n^2+1$$

   $$x_1=3,\quad x_2=9,\quad x_3=19.$$
   Тогда
   $$ \frac{x_2}{x_1}=3,\qquad \frac{x_3}{x_2}=\frac{19}{9}. $$
   Отношения не равны, значит, это не геометрическая прогрессия.

   в) $$x_n=\frac{2}{3^n}$$

   $$q=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{2/3^{n+1}}{2/3^n}=\frac13.$$
   Это геометрическая прогрессия, причём $$0<q<1$$, значит, она убывающая.

   г) $$x_n=3\cdot 2^n+1$$

   $$x_1=7,\quad x_2=13,\quad x_3=25.$$
   Тогда
   $$ \frac{x_2}{x_1}=\frac{13}{7},\qquad \frac{x_3}{x_2}=\frac{25}{13}. $$
   Отношения не равны, значит, это не геометрическая прогрессия.

2. Найдём первый член геометрической прогрессии по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

   а) $$S=10,\ q=0{,}1$$

   $$ \frac{b_1}{1-0{,}1}=10,\qquad \frac{b_1}{0{,}9}=10,\qquad b_1=9. $$

   б) $$S=-3,\ q=-\frac13$$

   $$ \frac{b_1}{1-(-\frac13)}=-3,\qquad \frac{b_1}{\frac43}=-3,\qquad b_1=-4. $$

   в) $$S=6,\ q=-0{,}5$$

   $$ \frac{b_1}{1-(-0{,}5)}=6,\qquad \frac{b_1}{1{,}5}=6,\qquad b_1=9. $$

   г) $$S=-21,\ q=\frac17$$

   $$ \frac{b_1}{1-\frac17}=-21,\qquad \frac{b_1}{\frac67}=-21,\qquad b_1=-18. $$

Ответ

1) а) геометрическая прогрессия, возрастающая; б) не является; в) геометрическая прогрессия, убывающая; г) не является.
2) а) $$9$$; б) $$-4$$; в) $$9$$; г) $$-18$$.