Упр.34.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Является ли последовательность, заданная формулой n-го члена, геометрической прогрессией? Если является, то установите характер её монотонности: а) $$x_n=5^{n-1}$$; б) $$x_n=2n^2+1$$; в) $$x_n=\frac{2}{3^n}$$; г) $$x_n=3\cdot2^n+1$$.
- Найдите первый член геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если: а) $$S=10,\ q=0{,}1$$; б) $$S=-3,\ q=-\frac{1}{3}$$; в) $$S=6,\ q=-0{,}5$$; г) $$S=-21,\ q=\frac{1}{7}$$.
Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией, то есть постоянным ли является отношение $$q=\frac{x_{n+1}}{x_n}$$.
а) $$x_n=5^{n-1}$$
$$q=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{5^n}{5^{n-1}}=5.$$
Значит, это геометрическая прогрессия, причём $$q>1$$, поэтому она возрастающая.б) $$x_n=2n^2+1$$
$$x_1=3,\quad x_2=9,\quad x_3=19.$$
Тогда
$$\frac{x_2}{x_1}=3,\qquad \frac{x_3}{x_2}=\frac{19}{9}.$$
Отношения не равны, значит, это не геометрическая прогрессия.в) $$x_n=\frac{2}{3^n}$$
$$q=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{2/3^{n+1}}{2/3^n}=\frac13.$$
Это геометрическая прогрессия, причём $$0<q<1$$, значит, она убывающая.г) $$x_n=3\cdot 2^n+1$$
$$x_1=7,\quad x_2=13,\quad x_3=25.$$
Тогда
$$\frac{x_2}{x_1}=\frac{13}{7},\qquad \frac{x_3}{x_2}=\frac{25}{13}.$$
Отношения не равны, значит, это не геометрическая прогрессия.Найдём первый член геометрической прогрессии по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$
а) $$S=10,\ q=0{,}1$$
$$\frac{b_1}{1-0{,}1}=10,\qquad \frac{b_1}{0{,}9}=10,\qquad b_1=9.$$
б) $$S=-3,\ q=-\frac13$$
$$\frac{b_1}{1-(-\frac13)}=-3,\qquad \frac{b_1}{\frac43}=-3,\qquad b_1=-4.$$
в) $$S=6,\ q=-0{,}5$$
$$\frac{b_1}{1-(-0{,}5)}=6,\qquad \frac{b_1}{1{,}5}=6,\qquad b_1=9.$$
г) $$S=-21,\ q=\frac17$$
$$\frac{b_1}{1-\frac17}=-21,\qquad \frac{b_1}{\frac67}=-21,\qquad b_1=-18.$$
Ответ
1) а) геометрическая прогрессия, возрастающая; б) не является; в) геометрическая прогрессия, убывающая; г) не является.
2) а) $$9$$; б) $$-4$$; в) $$9$$; г) $$-18$$.
