Упр.34.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) -6+2/3-2/27+2/243-…; в) 49-14+4-8/7+…;
б) 3+v3+1+1/v3+…; г) 4+2v2+2+v2+… .

Для бесконечной геометрической прогрессии сумма существует, если $$|q|<1,$$ и тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

1) Последовательность всех целых отрицательных степеней числа $$2$$:

$$\frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \frac1{16},\dots$$

Это геометрическая прогрессия, так как

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1/4}{1/2}=\frac12.$$

2) Вычислим суммы.

а)

$$-6+\frac23-\frac{2}{27}+\frac{2}{243}-\dots$$

Здесь $$b_1=-6,$$ $$q=\frac{2/3}{-6}=-\frac19.$$ Тогда

$$S=\frac{-6}{1-(-1/9)}=\frac{-6}{1+1/9}=\frac{-6}{10/9}=-\frac{27}{5}=-5{,}4.$$

б)

$$3+\sqrt3+1+\frac1{\sqrt3}+\dots$$

Здесь $$b_1=3,$$ $$q=\frac{\sqrt3}{3}.$$ Тогда

$$S=\frac{3}{1-\sqrt3/3}=\frac{3}{(3-\sqrt3)/3}=\frac{9}{3-\sqrt3}=\frac{9(3+\sqrt3)}{9-3}=\frac{9+3\sqrt3}{2}.$$

в)

$$49-14+4-\frac87+\dots$$

Здесь $$b_1=49,$$ $$q=\frac{-14}{49}=-\frac27.$$ Тогда

$$S=\frac{49}{1-(-2/7)}=\frac{49}{1+2/7}=\frac{49}{9/7}=49\cdot\frac79=\frac{343}{9}=38\frac19.$$

г)

$$4+2\sqrt2+2+\sqrt2+\dots$$

Здесь $$b_1=4,$$ $$q=\frac{2\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$ Тогда

$$S=\frac{4}{1-\sqrt2/2}=\frac{4}{(2-\sqrt2)/2}=\frac{8}{2-\sqrt2}=\frac{8(2+\sqrt2)}{4-2}=8+4\sqrt2.$$

Ответ

Последовательность является геометрической прогрессией, $$q=\frac12.$$

а) $$-5{,}4$$; б) $$\frac{9+3\sqrt3}{2}$$; в) $$38\frac19$$; г) $$8+4\sqrt2$$.