Упр.34.31 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}3x-y=1,\\ \frac{y}{x}-\frac{4x}{y}=3;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}7x+2y=6,\\ \frac{y}{x}+\frac{5x}{y}=-6.\end{cases}$$

1. а) Обозначим $$t=\frac{y}{x}$$, тогда из второго уравнения получаем

   $$t-\frac{4}{t}=3.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2-3t-4=0.$$

   $$D=3^2+4\cdot 4=25,$$

   $$t_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad t_2=\frac{3+5}{2}=4.$$

   1) Если $$\frac{y}{x}=-1,$$ то $$y=-x.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$3x-(-x)=1,$$

   $$4x=1,$$

   $$x=\frac14,\qquad y=-\frac14.$$

   2) Если $$\frac{y}{x}=4,$$ то $$y=4x.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$3x-4x=1,$$

   $$-x=1,$$

   $$x=-1,\qquad y=-4.$$

2. б) Обозначим $$t=\frac{y}{x}$$, тогда из второго уравнения получаем

   $$t+\frac{5}{t}=-6.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2+6t+5=0.$$

   $$D=6^2-4\cdot 5=16,$$

   $$t_1=\frac{-6-4}{2}=-5,\qquad t_2=\frac{-6+4}{2}=-1.$$

   1) Если $$\frac{y}{x}=-5,$$ то $$y=-5x.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$7x+2(-5x)=6,$$

   $$-3x=6,$$

   $$x=-2,\qquad y=10.$$

   2) Если $$\frac{y}{x}=-1,$$ то $$y=-x.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$7x+2(-x)=6,$$

   $$5x=6,$$

   $$x=\frac65,\qquad y=-\frac65.$$

Ответ

а) $$\left(\frac14;\,-\frac14\right),\;(-1;\,-4)$$;

б) $$(-2;\,10),\;\left(\frac65;\,-\frac65\right).$$