Упр.34.30 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
б) Решите уравнение f(x)=m при различных значениях m.
Функция задана по частям:
$$ f(x)= \begin{cases} x^3, & x<1,\\ (x-2)^2, & x\ge 1. \end{cases} $$
Для построения графика берём две части:
- при $$x<1$$ — график функции $$y=x^3$$;
- при $$x\ge 1$$ — график функции $$y=(x-2)^2$$.
В точке $$x=1$$ первая часть не входит, а вторая входит, поэтому на графике точка $$\left(1,1\right)$$ принадлежит второй ветви.
Теперь решим уравнение $$f(x)=m$$ по случаям.
Если $$m<0$$, то уравнение $$x^3=m$$ даёт единственный корень $$x=\sqrt[3]{m}$$, и он удовлетворяет условию $$x<1$$. Уравнение $$ (x-2)^2=m $$ решений не имеет, так как квадрат не может быть отрицательным.
Если $$m=0$$, то из первой части получаем $$x^3=0$$, откуда $$x=0$$; из второй части $$ (x-2)^2=0 $$, откуда $$x=2$$. Оба значения подходят.
Если $$0<m<1$$, то из первой части:
$$ x^3=m \Rightarrow x=\sqrt[3]{m}, $$
и так как $$0<\sqrt[3]{m}<1$$, этот корень подходит. Из второй части:
$$ (x-2)^2=m \Rightarrow x=2\pm\sqrt{m}. $$
С учётом условия $$x\ge 1$$ подходят оба корня: $$x=2-\sqrt{m}$$ и $$x=2+\sqrt{m}$$.
Если $$m=1$$, то из первой части:
$$ x^3=1 \Rightarrow x=1, $$
но $$x<1$$ не выполняется, значит этот корень не подходит. Из второй части:
$$ (x-2)^2=1 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=3. $$
Оба значения подходят.
Если $$m>1$$, то уравнение $$x^3=m$$ даёт корень $$x=\sqrt[3]{m}$$, но он больше 1, значит не подходит для первой части. Из второй части:
$$ (x-2)^2=m \Rightarrow x=2\pm\sqrt{m}. $$
Так как $$2-\sqrt{m}<1$$ при $$m>1$$, остаётся только корень $$x=2+\sqrt{m}$$.
Ответ
График состоит из частей $$y=x^3$$ при $$x<1$$ и $$y=(x-2)^2$$ при $$x\ge 1$$.
$$ f(x)=m: $$
$$ \begin{cases} x=\sqrt[3]{m}, & m<0;\\ x=0,\;2, & m=0;\\ x=\sqrt[3]{m},\;2-\sqrt{m},\;2+\sqrt{m}, & 0<m<1;\\ x=1,\;3, & m=1;\\ x=2+\sqrt{m}, & m>1. \end{cases} $$
