Упр.34.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) 2+1+1/2+1/4+…; в) 3/2-1+2/3-4/9+…;
б) 49+7+1+1/7+1/7^2+…; г) 125+5+1+1/5+… .

Последовательность всех натуральных степеней числа $5$ имеет вид:

$$1,\ 5,\ 25,\ 125,\dots$$

Это геометрическая прогрессия, так как отношение соседних членов постоянно:

$$q=\frac{5}{1}=5,\qquad \frac{25}{5}=5,\qquad \frac{125}{25}=5.$$

Значит, знаменатель прогрессии равен $5$.

Вычислим суммы бесконечных геометрических прогрессий по формуле

$$S=\frac{b_1}{1-q},\qquad |q|<1.$$

а) $$2+1+\frac12+\frac14+\dots$$

$$b_1=2,\quad q=\frac12$$

$$S=\frac{2}{1-\frac12}=\frac{2}{\frac12}=4.$$

б) $$49+7+1+\frac17+\frac1{7^2}+\dots$$

$$b_1=49,\quad q=\frac17$$

$$S=\frac{49}{1-\frac17}=\frac{49}{\frac67}=\frac{49\cdot 7}{6}=\frac{343}{6}=57\frac16.$$

в) $$\frac32-1+\frac23-\frac49+\dots$$

$$b_1=\frac32,\quad q=\frac{-1}{\frac32}=-\frac23$$

$$S=\frac{\frac32}{1-(-\frac23)}=\frac{\frac32}{1+\frac23}=\frac{\frac32}{\frac53}=\frac32\cdot\frac35=\frac9{10}=0{,}9.$$

г) $$25+5+1+\frac15+\dots$$

$$b_1=25,\quad q=\frac15$$

$$S=\frac{25}{1-\frac15}=\frac{25}{\frac45}=\frac{25\cdot 5}{4}=\frac{125}{4}=31{,}25.$$

Ответ

Знаменатель прогрессии: $5$.

а) $4$; б) $57\frac16$; в) $0{,}9$; г) $31{,}25$.