Упр.34.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Дана возрастающая последовательность всех натуральных степеней числа 5. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Если является, то чему равен её знаменатель?
2. Задание учебника 2023 года. Вычислите: а) $$2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots$$; б) $$49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\ldots$$; в) $$\frac{3}{2}-1+\frac{2}{3}-\frac{4}{9}+\ldots$$; г) $$125+5+1+\frac{1}{5}+\ldots$$.

Последовательность всех натуральных степеней числа $$5$$ имеет вид:

$$1,\ 5,\ 25,\ 125,\dots$$

Это геометрическая прогрессия, так как отношение соседних членов постоянно:

$$q=\frac{5}{1}=5,\qquad \frac{25}{5}=5,\qquad \frac{125}{25}=5.$$

Значит, знаменатель прогрессии равен $$5$$.

Вычислим суммы бесконечных геометрических прогрессий по формуле

$$S=\frac{b_1}{1-q},\qquad |q|<1.$$

а) $$2+1+\frac12+\frac14+\dots$$

$$b_1=2,\quad q=\frac12$$

$$S=\frac{2}{1-\frac12}=\frac{2}{\frac12}=4.$$

б) $$49+7+1+\frac17+\frac1{7^2}+\dots$$

$$b_1=49,\quad q=\frac17$$

$$S=\frac{49}{1-\frac17}=\frac{49}{\frac67}=\frac{49\cdot 7}{6}=\frac{343}{6}=57\frac16.$$

в) $$\frac32-1+\frac23-\frac49+\dots$$

$$b_1=\frac32,\quad q=\frac{-1}{\frac32}=-\frac23$$

$$S=\frac{\frac32}{1-(-\frac23)}=\frac{\frac32}{1+\frac23}=\frac{\frac32}{\frac53}=\frac32\cdot\frac35=\frac9{10}=0{,}9.$$

г) $$25+5+1+\frac15+\dots$$

$$b_1=25,\quad q=\frac15$$

$$S=\frac{25}{1-\frac15}=\frac{25}{\frac45}=\frac{25\cdot 5}{4}=\frac{125}{4}=31{,}25.$$

Ответ

Знаменатель прогрессии: $$5$$.

а) $$4$$; б) $$57\frac16$$; в) $$0{,}9$$; г) $$31{,}25$$.