Упр.34.29 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: В прямоугольник вписывается ромб, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника. В полученный ромб аналогичным образом вписывается прямоугольник, а в него снова ромб и т. д. Докажите, что площади полученных фигур образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда его площадь

$$S_1=ab.$$

Вписанный в него ромб образован серединами сторон прямоугольника. Его диагонали равны $$a$$ и $$b$$, поэтому площадь ромба

$$S_2=\frac12ab.$$

Далее в этот ромб вписывается прямоугольник, затем в него снова ромб и т. д. При каждом таком переходе площадь фигуры уменьшается в 2 раза:

$$S_{n+1}=\frac12S_n.$$

Значит, площади всех полученных фигур образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

$$q=\frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac12.$$

Ответ

$$\frac12$$