Упр.34.28 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: В квадрат со стороной 32 см последовательно вписывают квадраты. Вершины каждого следующего квадрата являются серединами сторон предыдущего квадрата. Докажите, что периметры квадратов образуют геометрическую прогрессию. Запишите формулу n-го члена полученной прогрессии.

Подробный ответ

Пусть сторона первого квадрата равна $$a_1=32$$ см. Тогда его периметр

$$P_1=4a_1=4\cdot 32=128.$$

Рассмотрим следующий квадрат. Его вершины — середины сторон предыдущего квадрата. Значит, сторона нового квадрата равна расстоянию между серединами соседних сторон:

$$a_2=\sqrt{\left(\frac{a_1}{2}\right)^2+\left(\frac{a_1}{2}\right)^2}=\frac{a_1\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда его периметр

$$P_2=4a_2=4\cdot \frac{a_1\sqrt{2}}{2}=P_1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно, отношение соседних периметров постоянно:

$$q=\frac{P_2}{P_1}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Значит, периметры квадратов образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$P_1=128$$ и знаменателем $$q=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

$$P_n=P_1\cdot q^{\,n-1}=128\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1}.$$

Можно упростить:

$$P_n=128\cdot 2^{-\frac{n-1}{2}}=2^{\frac{15-n}{2}}.$$