Упр.34.24 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Разность между третьим и четвёртым членами геометрической прогрессии равна 17, а сумма — 51. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_3=b_1q^2,\qquad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$\begin{cases} b_3-b_4=17,\\ b_3+b_4=51. \end{cases}$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$\begin{cases} b_1q^2-b_1q^3=17,\\ b_1q^2+b_1q^3=51. \end{cases}$$

Вынесем общий множитель:

$$\begin{cases} b_1q^2(1-q)=17,\\ b_1q^2(1+q)=51. \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{1+q}{1-q}=\frac{51}{17}=3.$$

Тогда

$$1+q=3-3q,$$

$$4q=2,$$

$$q=\frac12.$$

Подставим в первое уравнение:

$$b_1\left(\frac12\right)^2\left(1-\frac12\right)=17,$$

$$b_1\cdot \frac14 \cdot \frac12=17,$$

$$\frac{b_1}{8}=17,$$

$$b_1=136.$$

Ответ

$$b_1=136,\quad q=\frac12.$$