Упр.34.23 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: Первый член геометрической прогрессии (b_n) равен 4, а сумма третьего и пятого — 80. Найдите знаменатель прогрессии и b_6.

Пусть $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда

$$b_1=4,\quad b_3=4q^2,\quad b_5=4q^4.$$

По условию:

$$b_3+b_5=80,$$

значит

$$4q^2+4q^4=80.$$

Разделим обе части на $$4$$:

$$q^2+q^4=20.$$

Обозначим $$x=q^2$$. Тогда получаем уравнение

$$x^2+x-20=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0.$$

Отсюда

$$x=4 \quad \text{или} \quad x=-5.$$

Так как $$x=q^2\ge 0$$, то $$x=4$$. Следовательно,

$$q^2=4,\quad q=\pm 2.$$

Найдём шестой член прогрессии:

$$b_6=b_1q^5=4q^5.$$

Если $$q=2$$, то

$$b_6=4\cdot 2^5=128.$$

Если $$q=-2$$, то

$$b_6=4\cdot (-2)^5=-128.$$

Ответ

$$q=\pm 2,\quad b_6=128 \text{ или } -128.$$