Упр.34.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Известно, что число $$b_n$$ является членом данной геометрической прогрессии. Найдите его номер $$n$$:

а) $$b_n:\ 1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ \ldots$$ и $$b_n=\frac{1}{729}$$;

б) $$b_n:\ \frac{5}{2},\ 5,\ 10,\ \ldots$$ и $$b_n=160$$;

в) $$b_n:\ 256,\ 128,\ 64,\ \ldots$$ и $$b_n=\frac{1}{4}$$;

г) $$b_n:\ \frac{2}{5},\ \frac{6}{5},\ \frac{18}{5},\ \ldots$$ и $$b_n=\frac{486}{5}$$.

1. а) $$b_1=1,\quad b_2=\frac13,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac13.$$

   Тогда

   $$b_n=b_1q^{n-1}=1\cdot\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac1{729}.$$

   Так как $$729=3^6,$$ получаем

   $$\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac1{3^6},\quad n-1=6,\quad n=7.$$

2. б) $$b_1=\frac52,\quad b_2=5,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=5\cdot\frac25=2.$$

   Тогда

   $$b_n=\frac52\cdot 2^{\,n-1}=160.$$

   Отсюда

   $$2^{\,n-1}=64=2^6,\quad n-1=6,\quad n=7.$$

3. в) $$b_1=256,\quad b_2=128,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{128}{256}=\frac12.$$

   Тогда

   $$256\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac14.$$

   Так как $$256=2^8,\quad \frac14=2^{-2},$$ имеем

   $$2^8\cdot 2^{-(n-1)}=2^{-2},\quad 8-(n-1)=-2,\quad n-1=10,\quad n=11.$$

4. г) $$b_1=\frac25,\quad b_2=\frac65,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac65\cdot\frac52=3.$$

   Тогда

   $$\frac25\cdot 3^{\,n-1}=\frac{486}{5}.$$

   Получаем

   $$3^{\,n-1}=243=3^5,\quad n-1=5,\quad n=6.$$

Ответ

а) 7; б) 7; в) 11; г) 6.