Упр.34.2 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Установите, является ли данная геометрическая прогрессия возрастающей или убывающей: а) $$6, 1, \frac{1}{6}, \ldots$$; г) $$\frac{3}{8}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, \ldots$$; б) $$-3, 9, -27, \ldots$$; д) $$4, 16, 64, \ldots$$; в) $$\sqrt{3}, 1, \frac{1}{\sqrt{3}}, \ldots$$; е) $$-81, -27, -9, \ldots$$.
Найдите сумму геометрической прогрессии: а) $$32, 16, 8, 4, 2, \ldots$$; в) $$27, 9, 3, 1, \frac{1}{3}, \ldots$$; б) $$24, -8, \frac{8}{3}, -\frac{8}{9}, \ldots$$; г) $$18, -6, 2, -\frac{2}{3}, \ldots$$.

Подробный ответ

1. Определим, является ли геометрическая прогрессия возрастающей или убывающей.

$$b_1=6,\quad b_2=1,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{6}$$
Так как $$0<q<1,$$ прогрессия убывает.
$$b_1=-3,\quad b_2=9,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{9}{-3}=-3$$
Знак меняется, значит прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей.
$$b_1=\sqrt{3},\quad b_2=1,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
Так как $$0<q<1,$$ прогрессия убывает.
$$b_1=\frac{3}{8},\quad b_2=\frac{3}{4},\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{3/4}{3/8}=2$$
Так как $$q>1,$$ прогрессия возрастает.
$$b_1=4,\quad b_2=16,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{16}{4}=4$$
Так как $$q>1,$$ прогрессия возрастает.
$$b_1=-81,\quad b_2=-27,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-27}{-81}=\frac{1}{3}$$
Так как $$0<q<1,$$ прогрессия возрастает.

2. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии.

$$b_1=32,\quad q=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{32}{1-\frac{1}{2}}=\frac{32}{\frac{1}{2}}=64$$
$$b_1=24,\quad q=\frac{-8}{24}=-\frac{1}{3}$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{24}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{24}{1+\frac{1}{3}}=\frac{24}{\frac{4}{3}}=18$$
$$b_1=27,\quad q=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27}{\frac{2}{3}}=40{,}5$$
$$b_1=18,\quad q=\frac{-6}{18}=-\frac{1}{3}$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{18}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{18}{1+\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{4}{3}}=13{,}5$$