Упр.34.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Составьте формулу $$n$$-го члена геометрической прогрессии:
а) $$32,\ 16,\ 8,\ \ldots$$;
в) $$\frac{2}{3},\ -\frac{2}{9},\ \frac{2}{27},\ \ldots$$;
б) $$5,\ 1,\ 0{,}2,\ \ldots$$;
г) $$-1,\ \sqrt{2},\ -2,\ \ldots$$. - Смешали два раствора спирта с водой: первый — с содержанием спирта 30%, второй — с содержанием спирта 70%. В итоге получился раствор массой 600 г с содержанием спирта $$63\frac{1}{3}\%$$. Найдите массу исходных растворов.
Найдём формулы n-го члена геометрических прогрессий по формуле $$b_n=b_1q^{n-1}$$, где $$q=\frac{b_2}{b_1}$$.
а) $$32,\,16,\,8,\ldots$$
$$b_1=32,\quad q=\frac{16}{32}=\frac12$$
$$b_n=32\left(\frac12\right)^{n-1}$$
Можно записать так:
$$b_n=2^{6-n}$$
б) $$5,\,1,\,0{,}2,\ldots$$
$$b_1=5,\quad q=\frac15$$
$$b_n=5\left(\frac15\right)^{n-1}$$
Можно записать так:
$$b_n=5^{2-n}$$
в) $$\frac23,\,-\frac29,\,\frac{2}{27},\ldots$$
$$b_1=\frac23,\quad q=\frac{-2/9}{2/3}=-\frac13$$
$$b_n=\frac23\left(-\frac13\right)^{n-1}$$
Можно записать так:
$$b_n=\frac{(-1)^n\cdot 2}{3^n}$$
г) $$-1,\,\sqrt2,\,-2,\ldots$$
$$b_1=-1,\quad q=\frac{\sqrt2}{-1}=-\sqrt2$$
$$b_n=-1\cdot(-\sqrt2)^{\,n-1}$$
Можно записать так:
$$b_n=(-1)^n(\sqrt2)^{\,n-1}$$
Теперь решим задачу на смеси. Пусть $$x$$ г — масса первого раствора, $$y$$ г — масса второго раствора.
Тогда
$$x+y=600$$
и по количеству спирта:
$$0{,}3x+0{,}7y=600\cdot\frac{190}{300}=380$$
Подставим $$y=600-x$$:
$$0{,}3x+0{,}7(600-x)=380$$
$$0{,}3x+420-0{,}7x=380$$
$$-0{,}4x=-40$$
$$x=100$$
Тогда
$$y=600-100=500$$
Ответ
а) $$b_n=32\left(\frac12\right)^{n-1}=2^{6-n}$$; б) $$b_n=5\left(\frac15\right)^{n-1}=5^{2-n}$$; в) $$b_n=\frac23\left(-\frac13\right)^{n-1}=\frac{(-1)^n\cdot 2}{3^n}$$; г) $$b_n=-1\cdot(-\sqrt2)^{\,n-1}=(-1)^n(\sqrt2)^{\,n-1}$$; первый раствор — $$100$$ г, второй — $$500$$ г.
