Упр.34.12 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Геометрическая прогрессия $$(b_n)$$ задана формулой n-го члена. Найдите $$b_1$$ и $$q$$:
а) $$b_n=0{,}1^{n+1}$$;
в) $$b_n=\frac{2}{3}\cdot 3^{2n-1}$$;
б) $$b_n=3\cdot\left(\sqrt{2}\right)^n$$;
г) $$b_n=\frac{5}{2^{2n}}$$.
Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что её сумма равна 18, а сумма квадратов её членов равна 162.

Подробный ответ

а) $$b_n=0{,}1^{\,n+1}$$
Найдём первые члены:
$$b_1=0{,}1^2=0{,}01,\qquad b_2=0{,}1^3=0{,}001.$$
Тогда
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{0{,}001}{0{,}01}=0{,}1.$$
б) $$b_n=3\cdot(\sqrt2)^n$$
$$b_1=3\cdot\sqrt2=3\sqrt2,\qquad b_2=3\cdot2=6.$$
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{6}{3\sqrt2}=\sqrt2.$$
в) $$b_n=\frac23\cdot 3^{2n-1}$$
$$b_1=\frac23\cdot 3=2,\qquad b_2=\frac23\cdot 3^3=18.$$
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{18}{2}=9.$$
г) $$b_n=\frac{5}{2^{2n}}$$
$$b_1=\frac{5}{2^2}=\frac54,\qquad b_2=\frac{5}{2^4}=\frac{5}{16}.$$
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{5/16}{5/4}=\frac14.$$
Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель равен $$q$$. Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=18,$$
$$\frac{b_1^2}{1-q^2}=162.$$
Из первого уравнения:
$$b_1=18(1-q).$$
Подставим во второе:
$$\frac{18^2(1-q)^2}{1-q^2}=162.$$
Упростим:
$$324(1-q)^2=162(1-q^2),$$
$$2(1-2q+q^2)=1-q^2,$$
$$2-4q+2q^2=1-q^2,$$
$$3q^2-4q+1=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=(-4)^2-4\cdot3\cdot1=16-12=4,$$
$$q=\frac{4\pm2}{6}.$$
Получаем $$q_1=1$$ и $$q_2=\frac13.$$
Значение $$q=1$$ не подходит, так как тогда формула суммы геометрической прогрессии не имеет смысла. Значит,
$$q=\frac13.$$
Тогда
$$b_1=18\left(1-\frac13\right)=12.$$