Упр.34.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) b_2=-4, b_3=16; в) b_2=1,5, b_3=0,75;
б) b_4=1, b_5=-1/3; г) b_3=-2, b_4=-6. Найдите геометрическую прогрессию, если её сумма равна 24, а сумма первых трёх членов равна 21.
Для геометрической прогрессии $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$$, а первый член находим по формуле $$b_1=\frac{b_n}{q^{\,n-1}}$$.
а) $$b_2=-4,\quad b_3=16$$
$$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{16}{-4}=-4,$$
$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{-4}{-4}=1.$$Ответ: $$q=-4,\quad b_1=1.$$
б) $$b_4=1,\quad b_5=-\frac13$$
$$q=\frac{b_5}{b_4}=\frac{-\frac13}{1}=-\frac13,$$
$$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{1}{\left(-\frac13\right)^3}=1\cdot(-27)=-27.$$Ответ: $$q=-\frac13,\quad b_1=-27.$$
в) $$b_2=1{,}5,\quad b_3=0{,}75$$
$$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{0{,}75}{1{,}5}=0{,}5,$$
$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{1{,}5}{0{,}5}=3.$$Ответ: $$q=0{,}5,\quad b_1=3.$$
г) $$b_3=-2,\quad b_4=-6$$
$$q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{-6}{-2}=3,$$
$$b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{-2}{3^2}=-\frac29.$$Ответ: $$q=3,\quad b_1=-\frac29.$$
Найдём геометрическую прогрессию, если $$S=24$$ и сумма первых трёх членов равна $$21$$.
Для бесконечной геометрической прогрессии при $$|q|<1$$:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=24,$$
значит
$$b_1=24(1-q).$$
Сумма первых трёх членов:
$$b_1+b_1q+b_1q^2=21,$$
то есть
$$b_1(1+q+q^2)=21.$$
Подставим $$b_1=24(1-q)$$:
$$24(1-q)(1+q+q^2)=21,$$
$$24(1-q^3)=21,$$
$$1-q^3=\frac78,$$
$$q^3=\frac18,$$
$$q=0{,}5.$$
Тогда
$$b_1=24(1-0{,}5)=12.$$
Ответ
а) $$q=-4,\ b_1=1$$; б) $$q=-\frac13,\ b_1=-27$$; в) $$q=0{,}5,\ b_1=3$$; г) $$q=3,\ b_1=-\frac29$$; $$b_1=12,\ q=0{,}5.$$
