Упр.33.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 11 и не делятся на 5. (Старинная задача.) Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. р., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 к. (копейку), во второй — 2 к., в третий — 4 к., в четвёртый — 8 к. и т. д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто оказался с прибылью в этой сделке?

а) Трёхзначные числа, кратные 5, образуют арифметическую прогрессию:

$$100,\ 105,\ 110,\ \ldots,\ 995$$

$$a_1=100,\ a_n=995,\ d=5$$

Найдём число членов:

$$995=100+5(n-1)$$

$$5(n-1)=895$$

$$n=180$$

Тогда сумма всех трёхзначных чисел, кратных 5:

$$S_{180}=\frac{100+995}{2}\cdot 180=98550$$

Теперь исключим трёхзначные числа, кратные и 5, и 11, то есть кратные $$55$$:

$$110,\ 165,\ 220,\ \ldots,\ 990$$

$$a_1=110,\ a_n=990,\ d=55$$

$$990=110+55(n-1)$$

$$55(n-1)=880$$

$$n=17$$

Сумма этих чисел:

$$S_{17}=\frac{110+990}{2}\cdot 17=9350$$

Искомая сумма:

$$98550-9350=89200$$

б) Трёхзначные числа, кратные 11, образуют арифметическую прогрессию:

$$110,\ 121,\ 132,\ \ldots,\ 990$$

$$a_1=110,\ a_n=990,\ d=11$$

$$990=110+11(n-1)$$

$$11(n-1)=880$$

$$n=81$$

Сумма всех трёхзначных чисел, кратных 11:

$$S_{81}=\frac{110+990}{2}\cdot 81=44550$$

Исключим числа, кратные и 11, и 5, то есть кратные $$55$$. Их сумма уже найдена:

$$S_{17}=9350$$

Тогда искомая сумма:

$$44550-9350=35200$$

Старинная задача. Полученные богачом деньги образуют геометрическую прогрессию:

$$100000,\ 100000,\ \ldots,\ 100000$$

За 30 дней он получил:

$$30\cdot 100000=3000000$$

Отданные богачом деньги — это сумма геометрической прогрессии:

$$1,\ 2,\ 4,\ \ldots,\ 2^{29}$$

$$b_1=1,\ q=2,\ n=30$$

$$S_{30}=\frac{1\cdot(2^{30}-1)}{2-1}=2^{30}-1$$

Так как $$1$$ рубль = $$100$$ копеек, то в рублях:

$$\frac{2^{30}-1}{100}$$

Следовательно, богач получил $$3000000$$ руб., а отдал $$\frac{2^{30}-1}{100}$$ руб. Поскольку

$$\frac{2^{30}-1}{100}\approx 10737418{,}23$$

то с прибылью оказался человек, который ежедневно получал по 100 тыс. р.

Ответ

а) $$89200$$; б) $$35200$$; богач получил $$3000000$$ руб., отдал $$\frac{2^{30}-1}{100}$$ руб., с прибылью оказался бедняк.