Упр.33.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) при делении на 7 дают в остатке 3;
б) при делении на 9 дают в остатке 4. Выведите формулу суммы квадратов первых n членов геометрической прогрессии (b_n).

а) Двузначные числа, дающие при делении на $7$ остаток $3$, образуют арифметическую прогрессию:

$$10,\ 17,\ 24,\ \ldots,\ 94$$

Здесь $a_1=10$, $a_n=94$, $d=7$.

Найдём число членов:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$94=10+7(n-1)$$

$$94=10+7n-7$$

$$7n=91$$

$$n=13$$

Тогда сумма:

$$S_{13}=\frac{a_1+a_{13}}{2}\cdot 13$$

$$S_{13}=\frac{10+94}{2}\cdot 13=52\cdot 13=676$$

б) Двузначные числа, дающие при делении на $9$ остаток $4$, также образуют арифметическую прогрессию:

$$13,\ 22,\ 31,\ \ldots,\ 94$$

Здесь $a_1=13$, $a_n=94$, $d=9$.

Найдём число членов:

$$94=13+9(n-1)$$

$$94=13+9n-9$$

$$9n=90$$

$$n=10$$

Тогда сумма:

$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10$$

$$S_{10}=\frac{13+94}{2}\cdot 10=5\cdot 107=535$$

Формула суммы квадратов первых $n$ членов геометрической прогрессии $b_n$:

Пусть $c_k=b_k^2$. Тогда $c_1=b_1^2$, а знаменатель новой геометрической прогрессии равен $q^2$.

Следовательно,

$$S_n=c_1\frac{q_c^n-1}{q_c-1}$$

где $q_c=q^2$, $c_1=b_1^2$.

Получаем:

$$S_n=\frac{b_1^2(q^{2n}-1)}{q^2-1}$$

Ответ

а) $676$; б) $535$; $$S_n=\frac{b_1^2(q^{2n}-1)}{q^2-1}$$.