Упр.33.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые: а) при делении на $$7$$ дают в остатке $$3$$; б) при делении на $$9$$ дают в остатке $$4$$.
2. Выведите формулу суммы квадратов первых $$n$$ членов геометрической прогрессии $$\left(b_n\right)$$.

а) Двузначные числа, дающие при делении на $$7$$ остаток $$3$$, образуют арифметическую прогрессию:

$$10,\ 17,\ 24,\ \ldots,\ 94$$

Здесь $$a_1=10$$, $$a_n=94$$, $$d=7$$.

Найдём число членов:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$94=10+7(n-1)$$

$$94=10+7n-7$$

$$7n=91$$

$$n=13$$

Тогда сумма:

$$S_{13}=\frac{a_1+a_{13}}{2}\cdot 13$$

$$S_{13}=\frac{10+94}{2}\cdot 13=52\cdot 13=676$$

б) Двузначные числа, дающие при делении на $$9$$ остаток $$4$$, также образуют арифметическую прогрессию:

$$13,\ 22,\ 31,\ \ldots,\ 94$$

Здесь $$a_1=13$$, $$a_n=94$$, $$d=9$$.

Найдём число членов:

$$94=13+9(n-1)$$

$$94=13+9n-9$$

$$9n=90$$

$$n=10$$

Тогда сумма:

$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10$$

$$S_{10}=\frac{13+94}{2}\cdot 10=5\cdot 107=535$$

Формула суммы квадратов первых $$n$$ членов геометрической прогрессии $$b_n$$:

Пусть $$c_k=b_k^2$$. Тогда $$c_1=b_1^2$$, а знаменатель новой геометрической прогрессии равен $$q^2$$.

Следовательно,

$$S_n=c_1\frac{q_c^n-1}{q_c-1}$$

где $$q_c=q^2$$, $$c_1=b_1^2$$.

Получаем:

$$S_n=\frac{b_1^2(q^{2n}-1)}{q^2-1}$$

Ответ

а) $$676$$; б) $$535$$; $$S_n=\frac{b_1^2(q^{2n}-1)}{q^2-1}$$.