Упр.33.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) кратных 5; б) кратных 12. Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии (b_n), если:
а) b_7=16, b_9=32 (q>0), n=8;
б) b_6=4, b_9=-8v2, n=6;
в) b_5=-1, b_7=-1/3 (q<0), n=6;
г) b_4=3v3, b_7=27, n=4.
1) Сумма всех двузначных чисел, кратных 5.
Это арифметическая прогрессия: $$10, 15, 20, \dots, 95$$
$$a_1=10,\quad a_n=95,\quad d=5$$
Найдём число членов:
$$a_n=a_1+d(n-1)$$
$$95=10+5(n-1)$$
$$95=5n+5$$
$$5n=90,\quad n=18$$
Тогда
$$S_{18}=\frac{a_1+a_{18}}{2}\cdot 18=\frac{10+95}{2}\cdot 18=945$$
2) Сумма всех двузначных чисел, кратных 12.
Это арифметическая прогрессия: $$12, 24, 36, \dots, 96$$
$$a_1=12,\quad a_n=96,\quad d=12$$
Найдём число членов:
$$96=12+12(n-1)$$
$$96=12n$$
$$n=8$$
Тогда
$$S_8=\frac{a_1+a_8}{2}\cdot 8=\frac{12+96}{2}\cdot 8=432$$
3) Геометрическая прогрессия.
а) $$b_7=16,\quad b_9=32,\quad n=8,\quad q>0$$
$$b_9=b_7q^2$$
$$q^2=\frac{b_9}{b_7}=\frac{32}{16}=2,\quad q=\sqrt2$$
$$b_1=\frac{b_7}{q^6}=\frac{16}{(\sqrt2)^6}=2$$
$$S_8=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1}=\frac{2\big((\sqrt2)^8-1\big)}{\sqrt2-1}=\frac{2(16-1)}{\sqrt2-1}$$
$$S_8=\frac{30}{\sqrt2-1}=30(\sqrt2+1)=30+30\sqrt2$$
б) $$b_6=4,\quad b_9=-8\sqrt2,\quad n=6$$
$$b_9=b_6q^3$$
$$q^3=\frac{b_9}{b_6}=\frac{-8\sqrt2}{4}=-2\sqrt2$$
$$q=-\sqrt2$$
$$b_1=\frac{b_6}{q^5}=\frac{4}{(-\sqrt2)^5}=-\frac{\sqrt2}{2}$$
$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{-\frac{\sqrt2}{2}\big((-\sqrt2)^6-1\big)}{-\sqrt2-1}$$
$$S_6=\frac{-\frac{\sqrt2}{2}(8-1)}{-\sqrt2-1}=7-3{,}5\sqrt2$$
в) $$b_5=-1,\quad b_7=-\frac13,\quad n=6,\quad q<0$$
$$b_7=b_5q^2$$
$$q^2=\frac{b_7}{b_5}=\frac{1}{3},\quad q=-\frac{\sqrt3}{3}$$
$$b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{-1}{\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)^4}=-9$$
$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{-9\left(\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)^6-1\right)}{-\frac{\sqrt3}{3}-1}$$
$$S_6=\frac{13(\sqrt3-3)}{3}$$
г) $$b_4=3\sqrt3,\quad b_7=27,\quad n=4$$
$$b_7=b_4q^3$$
$$q^3=\frac{b_7}{b_4}=\frac{27}{3\sqrt3}=3\sqrt3,\quad q=\sqrt3$$
$$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{3\sqrt3}{3\sqrt3}=1$$
$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{(\sqrt3)^4-1}{\sqrt3-1}=\frac{9-1}{\sqrt3-1}$$
$$S_4=\frac{8}{\sqrt3-1}=4(\sqrt3+1)=4\sqrt3+4$$
Ответ
Сумма двузначных чисел, кратных 5, равна $$945$$; кратных 12 — $$432$$.
а) $$30+30\sqrt2$$; б) $$7-3{,}5\sqrt2$$; в) $$\frac{13(\sqrt3-3)}{3}$$; г) $$4\sqrt3+4$$.
