Упр.33.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) a_n=-3n+1; в) a_n=5n+2;
б) a_n=1,5n+2,5; г) a_n=-0,6n-5. Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии (b_n), если:
а) b_1=6, b_3=54, n=5; б) b_1=5/12, b_3=1/60, n=4.

Подробный ответ

Найдём сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии по формуле
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$
а) $$a_n=-3n+1,\quad n=20.$$
$$a_1=-3\cdot 1+1=-2,$$
$$a_{20}=-3\cdot 20+1=-59.$$
$$S_{20}=\frac{-2+(-59)}{2}\cdot 20=\frac{-61}{2}\cdot 20=-610.$$
б) $$a_n=1{,}5n+2{,}5,\quad n=20.$$
$$a_1=1{,}5\cdot 1+2{,}5=4,$$
$$a_{20}=1{,}5\cdot 20+2{,}5=32{,}5.$$
$$S_{20}=\frac{4+32{,}5}{2}\cdot 20=365.$$
в) $$a_n=5n+2,\quad n=20.$$
$$a_1=5\cdot 1+2=7,$$
$$a_{20}=5\cdot 20+2=102.$$
$$S_{20}=\frac{7+102}{2}\cdot 20=1090.$$
г) $$a_n=-0{,}6n-5,\quad n=20.$$
$$a_1=-0{,}6\cdot 1-5=-5{,}6,$$
$$a_{20}=-0{,}6\cdot 20-5=-17.$$
$$S_{20}=\frac{-5{,}6+(-17)}{2}\cdot 20=-226.$$
Найдём сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии по формуле
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1},\quad q\ne 1.$$
а) $$b_1=6,\quad b_3=54,\quad n=5.$$
$$b_3=b_1q^2,\quad q^2=\frac{b_3}{b_1}=\frac{54}{6}=9,$$
$$q=\pm 3.$$
Если $$q=3,$$ то
$$S_5=\frac{6(3^5-1)}{3-1}=\frac{6(243-1)}{2}=726.$$
Если $$q=-3,$$ то
$$S_5=\frac{6((-3)^5-1)}{-3-1}=\frac{6(-243-1)}{-4}=366.$$
б) $$b_1=\frac{5}{12},\quad b_3=\frac{1}{60},\quad n=4.$$
$$b_3=b_1q^2,\quad q^2=\frac{b_3}{b_1}=\frac{1/60}{5/12}=\frac{1}{25},$$
$$q=\pm \frac{1}{5}.$$
Если $$q=\frac{1}{5},$$ то
$$S_4=\frac{\frac{5}{12}\left(\left(\frac{1}{5}\right)^4-1\right)}{\frac{1}{5}-1}=\frac{13}{25}.$$
Если $$q=-\frac{1}{5},$$ то
$$S_4=\frac{\frac{5}{12}\left(\left(-\frac{1}{5}\right)^4-1\right)}{-\frac{1}{5}-1}=\frac{26}{75}.$$