Упр.33.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) a_1=-1, d=-3, n=16; в) a_1=6, d=-3, n=25;
б) a_1=-0,5, d=4,5, n=36; г) a_1=7,2, d=1,2, n=100. Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии (b_n), если:
а) b_1=-2, b_2=1, n=5; в) b_1=-4, b_2=2, n=6;
б) b_4=240, b_5=480, n=4; г) b_6=8, b_7=-16, n=7.

Подробный ответ

1. Сумма членов арифметической прогрессии

Используем формулу

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

$$a_1=-1,\ d=-3,\ n=16$$
$$S_{16}=\frac{2\cdot(-1)+15\cdot(-3)}{2}\cdot 16=\frac{-2-45}{2}\cdot 16=-\frac{47}{2}\cdot 16=-376.$$
$$a_1=-0{,}5,\ d=4{,}5,\ n=36$$
$$S_{36}=\frac{2\cdot(-0{,}5)+35\cdot 4{,}5}{2}\cdot 36=\frac{-1+157{,}5}{2}\cdot 36=\frac{156{,}5}{2}\cdot 36=2817.$$
$$a_1=6,\ d=-3,\ n=25$$
$$S_{25}=\frac{2\cdot 6+24\cdot(-3)}{2}\cdot 25=\frac{12-72}{2}\cdot 25=-30\cdot 25=-750.$$
$$a_1=7{,}2,\ d=1{,}2,\ n=100$$
$$S_{100}=\frac{2\cdot 7{,}2+99\cdot 1{,}2}{2}\cdot 100=\frac{14{,}4+118{,}8}{2}\cdot 100=66{,}6\cdot 100=6660.$$

2. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Используем формулу

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q=\frac{b_2}{b_1}.$$

$$b_1=-2,\ b_2=1,\ n=5$$
$$q=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.$$
$$S_5=\frac{-2\left(\left(-\frac12\right)^5-1\right)}{-\frac12-1} =\frac{-2\left(-\frac{1}{32}-1\right)}{-\frac32} =-\frac{33}{16}\cdot\frac{2}{3} =-\frac{11}{8}.$$
$$b_4=240,\ b_5=480,\ n=4$$
$$q=\frac{480}{240}=2.$$
Найдём первый член:
$$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{240}{2^3}=30.$$
$$S_4=\frac{30(2^4-1)}{2-1}=30\cdot 15=450.$$
$$b_1=-4,\ b_2=2,\ n=6$$
$$q=\frac{2}{-4}=-\frac12.$$
$$S_6=\frac{-4\left(\left(-\frac12\right)^6-1\right)}{-\frac12-1} =\frac{-4\left(\frac{1}{64}-1\right)}{-\frac32} =-\frac{5}{8}.$$
$$b_6=8,\ b_7=-16,\ n=7$$
$$q=\frac{-16}{8}=-2.$$
$$b_1=\frac{b_6}{q^5}=\frac{8}{(-2)^5}=-\frac14.$$
$$S_7=\frac{-\frac14\left((-2)^7-1\right)}{-2-1} =\frac{-\frac14(-128-1)}{-3} =-\frac{129}{12} =-\frac{43}{4}.$$