Упр.33.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) {x^2 y^2-6xy=-5, 3x+3y=10};
б) {2x^2 y^2-5xy=-2, x-y=-1}.
а) Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $$xy$$:
$$x^2y^2-6xy=-5$$
$$ (xy)^2-6xy+5=0 $$
Положим $$t=xy$$. Тогда
$$t^2-6t+5=0$$
$$D=6^2-4\cdot 5=16$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=5$$
Значит, либо $$xy=1$$, либо $$xy=5$$.
Из второго уравнения:
$$3x+3y=10 \quad \Rightarrow \quad x+y=\frac{10}{3}$$
1) Если $$xy=1$$, то $$y=\frac{1}{x}$$ и
$$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$$
$$3x^2-10x+3=0$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$
$$x_1=3,\quad x_2=\frac{1}{3}$$
Тогда
$$y_1=\frac{1}{3},\quad y_2=3$$
Получаем точки $$\left(3;\frac{1}{3}\right)$$ и $$\left(\frac{1}{3};3\right)$$.
2) Если $$xy=5$$, то $$y=\frac{5}{x}$$ и
$$x+\frac{5}{x}=\frac{10}{3}$$
$$3x^2-10x+15=0$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 15=100-180=-80$$
Действительных решений нет.
б) Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $$xy$$:
$$2x^2y^2-5xy=-2$$
$$2(xy)^2-5xy+2=0$$
Положим $$t=xy$$. Тогда
$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$
$$t_1=\frac{1}{2},\quad t_2=2$$
Значит, либо $$xy=\frac{1}{2}$$, либо $$xy=2$$.
Из второго уравнения:
$$x-y=-1 \quad \Rightarrow \quad y=x+1$$
1) Если $$xy=\frac{1}{2}$$, то
$$x(x+1)=\frac{1}{2}$$
$$2x^2+2x-1=0$$
$$D=2^2-4\cdot 2\cdot(-1)=12$$
$$x=\frac{-2\pm \sqrt{12}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$$
Тогда
$$y=x+1=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$$
Получаем решения:
$$\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right),\quad \left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2};\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)$$
2) Если $$xy=2$$, то
$$x(x+1)=2$$
$$x^2+x-2=0$$
$$D=1^2+4\cdot 2=9$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1$$
Тогда
$$y_1=-1,\quad y_2=2$$
Получаем решения: $$(-2;-1)$$ и $$(1;2)$$.
Ответ
а) $$\left(\frac{1}{3};3\right),\ \left(3;\frac{1}{3}\right)$$
б) $$\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right),\ \left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2};\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right),\ (-2;-1),\ (1;2)$$
