Упр.33.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: Альпинисты, покоряя горные вершины Кавказа, совершили восхождение на Пик Пушкина, высота которого равна 5100 м. В первый день они поднялись на высоту 1500 м, а в каждый из последующих дней преодолевали на 150 м меньше, чем в предыдущий день. Сколько дней понадобилось альпинистам, чтобы покорить Пик Пушкина? Постройте график функции y=-3x^2+12|x|-8. При каких значениях р график функции имеет с прямой y=p более трёх общих точек?

Подробный ответ

1) Высоты, которые проходили альпинисты по дням, образуют арифметическую прогрессию:

$$a_1=1500,\quad d=-150,\quad S_n=5100.$$

Используем формулу суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Подставим данные:

$$5100=\frac{2\cdot1500-150(n-1)}{2}\cdot n,$$

$$5100=\frac{3000-150n+150}{2}\cdot n,$$

$$10200=(3150-150n)n,$$

$$150n^2-3150n+10200=0,$$

$$n^2-21n+68=0.$$

Найдём корни:

$$D=21^2-4\cdot68=441-272=169,$$

$$n=\frac{21\pm13}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=4,\quad n_2=17.$$

Так как за 17 дней сумма была бы уже больше нужной высоты, подходит только $$n=4$$.

2) Рассмотрим функцию

$$y=-3x^2+12|x|-8.$$

Так как есть модуль, запишем её по частям:

$$ y= \begin{cases} -3x^2+12x-8, & x\ge 0,\\ -3x^2-12x-8, & x<0. \end{cases} $$

Это две ветви парабол, симметричные относительно оси $$Oy$$. Для правой ветви:

$$y=-3x^2+12x-8=-3(x-2)^2+4,$$

значит, вершина правой параболы — $$\left(2;4\right)$$. Левая ветвь имеет вершину $$\left(-2;4\right)$$.

Наибольшее значение функции равно $$4$$, наименьшего нет, так как при $$|x|\to\infty$$ имеем $$y\to-\infty$$.

3) Чтобы прямая $$y=p$$ имела с графиком более трёх общих точек, она должна совпадать с уровнем, на котором график пересекается в четырёх точках. Это возможно только при $$p=4$$: прямая проходит через обе вершины и касается графика в двух точках.