Упр.33.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: В арифметической прогрессии (a_n) известно, что a_7=-100, a_9=-78. Найдите a_15 и S_20. Докажите, что в конечной геометрической прогрессии, имеющей чётное число членов, отношение суммы членов, стоящих на чётных местах, к сумме членов, стоящих на нечётных местах, равно знаменателю прогрессии.

1) Найдём разность арифметической прогрессии:

$$a_9=a_7+2d$$

$$-78=-100+2d$$

$$2d=22,\quad d=11.$$

2) Найдём первый и пятнадцатый члены:

$$a_1=a_7-6d=-100-66=-166,$$

$$a_{15}=a_1+14d=-166+154=-12.$$

3) Найдём сумму первых двадцати членов:

$$S_{20}=\frac{2a_1+19d}{2}\cdot 20$$

$$S_{20}=\frac{2\cdot(-166)+19\cdot 11}{2}\cdot 20$$

$$S_{20}=\frac{-332+209}{2}\cdot 20=\frac{-123}{2}\cdot 20=-1230.$$

4) Докажем утверждение для конечной геометрической прогрессии с чётным числом членов.

Пусть прогрессия имеет вид $$b_1,b_2,\dots,b_{2n},$$ где $$b_k=b_1q^{k-1}.$$

Тогда сумма членов, стоящих на чётных местах, равна

$$b_2+b_4+\cdots+b_{2n}=b_1q+b_1q^3+\cdots+b_1q^{2n-1}=q(b_1+b_1q^2+\cdots+b_1q^{2n-2}),$$

а сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна

$$b_1+b_3+\cdots+b_{2n-1}=b_1+b_1q^2+\cdots+b_1q^{2n-2}.$$

Следовательно,

$$\frac{b_2+b_4+\cdots+b_{2n}}{b_1+b_3+\cdots+b_{2n-1}}=q.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$a_{15}=-12,\quad S_{20}=-1230.$$