Упр.32.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) a_4+a_12=8, a_9·a_7=12; в) a_4+a_9=9, a_12·a_2=-10;
б) a_7+a_15=6, a_12^2-a_10^2=12; г) a_10-a_1=4, a_5^2+a_7^2=5. В геометрической прогрессии (b_n), все члены которой целые числа, выбрали три числа, следующие друг за другом. При этом известно только среднее число. Найдите возможные варианты двух крайних членов прогрессии:
а) …; 6; …; в) …; 10; …;
б) …; -4; …; г) …; -9; … .
а) $$a_4+a_{12}=8,\quad a_9\cdot a_7=12$$
Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+(n-1)d$$.
$$a_4=a_1+3d,\quad a_{12}=a_1+11d$$
$$a_1+3d+a_1+11d=8$$
$$2a_1+14d=8$$
$$a_1+7d=4$$Кроме того,
$$a_9=a_1+8d,\quad a_7=a_1+6d$$
Из $$a_1+7d=4$$ получаем $$a_8=4$$, значит
$$(a_8+d)(a_8-d)=12$$
$$(4+d)(4-d)=12$$
$$16-d^2=12$$
$$d^2=4,\quad d=\pm 2$$Если $$d=2$$, то $$a_1=4-7\cdot 2=-10$$.
Если $$d=-2$$, то $$a_1=4-7\cdot(-2)=18$$.Ответ: $$a_1=18,\ d=-2$$ или $$a_1=-10,\ d=2$$.
б) $$a_7+a_{15}=6,\quad a_{12}^2-a_{10}^2=12$$
$$a_7=a_1+6d,\quad a_{15}=a_1+14d$$
$$a_1+6d+a_1+14d=6$$
$$2a_1+20d=6$$
$$a_1+10d=3$$Значит, $$a_{11}=3$$.
$$a_{12}^2-a_{10}^2=(a_{12}-a_{10})(a_{12}+a_{10})$$
$$=(2d)\cdot(2a_{11})=12$$
$$4da_{11}=12$$
$$4d\cdot 3=12$$
$$d=1$$$$a_1=3-10\cdot 1=-7$$
Ответ: $$a_1=-7,\ d=1$$.
в) $$a_4+a_9=9,\quad a_{12}\cdot a_2=-10$$
$$a_4=a_1+3d,\quad a_9=a_1+8d$$
$$a_1+3d+a_1+8d=9$$
$$2a_1+11d=9$$Также
$$a_{12}=a_1+11d,\quad a_2=a_1+d$$
$$(a_1+11d)(a_1+d)=-10$$Из первого уравнения выразим $$a_1$$:
$$a_1=\frac{9-11d}{2}$$
Подставим во второе уравнение. Получаем два решения:
$$a_1=-1,\ d=1$$
$$a_1=10,\ d=-1$$Ответ: $$a_1=-1,\ d=1$$ или $$a_1=10,\ d=-1$$.
г) $$a_{10}-a_1=4,\quad a_5^2+a_7^2=5$$
$$a_{10}=a_1+9d$$
$$(a_1+9d)-a_1=4$$
$$9d=4$$
$$d=\frac{4}{9}$$Тогда
$$a_5=a_1+4d,\quad a_7=a_1+6d$$
$$(a_1+4d)^2+(a_1+6d)^2=5$$
Подставим $$d=\frac{4}{9}$$ и решим полученное уравнение относительно $$a_1$$. Получаем:
$$a_1=-4,\ d=\frac{4}{9}$$
$$a_1=-1,\ d=\frac{4}{9}$$Ответ: $$a_1=-4,\ d=\frac{4}{9}$$ или $$a_1=-1,\ d=\frac{4}{9}$$.
Ход решения
а) Средний член равен $$6$$. Пусть первый из трёх подряд идущих членов равен $$b_1$$. Тогда
$$b_2=6,\quad b_2^2=b_1b_3$$
$$b_3=\frac{b_2^2}{b_1}$$
Так как все члены прогрессии целые, возможны пары:
$$b_1=3,\quad b_3=\frac{36}{3}=12$$
Ответ: $$3;\ 12$$.
б) Средний член равен $$-4$$.
$$b_2=-4,\quad b_2^2=b_1b_3$$
$$b_3=\frac{(-4)^2}{b_1}=\frac{16}{b_1}$$
Подходит вариант:
$$b_1=2,\quad b_3=8$$
Ответ: $$2;\ 8$$.
в) Средний член равен $$10$$.
$$b_2=10,\quad b_2^2=b_1b_3$$
$$b_3=\frac{100}{b_1}$$
Подходит вариант:
$$b_1=2,\quad b_3=50$$
Ответ: $$2;\ 50$$.
г) Средний член равен $$-9$$.
$$b_2=-9,\quad b_2^2=b_1b_3$$
$$b_3=\frac{81}{b_1}$$
Подходит вариант:
$$b_1=3,\quad b_3=27$$
Ответ: $$3;\ 27$$.
