Упр.32.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, найдите: а) $$a_7$$, если известно, что $$a_{10}+a_4=24$$; б) $$a_{10}$$, если известно, что $$a_{14}+a_6=-4$$; в) $$a_{16}$$, если известно, что $$a_{11}+a_{21}=-0{,}8$$; г) $$a_{25}$$, если известно, что $$a_{35}+a_{15}=1{,}2$$.
В геометрической прогрессии $$(b_n)$$ выбрали три числа, следующие друг за другом. При этом два из них известны, а одно нет. Найдите пропущенный член прогрессии: а) $$-2;\ \ldots;\ -32$$; в) $$-4{,}5;\ \ldots;\ -0{,}5$$; б) $$\frac{1}{7};\ \ldots;\ 1\frac{3}{4}$$; г) $$12;\ \ldots;\ 48$$.

Подробный ответ

Для арифметической прогрессии средний член равен полусумме равноудалённых от него членов:

$$a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}.$$

$$a_{10}+a_4=24.$$
Число $$a_7$$ — средний член между $$a_4$$ и $$a_{10}$$, значит
$$a_7=\frac{a_4+a_{10}}{2}=\frac{24}{2}=12.$$
$$a_{14}+a_6=-4.$$
Число $$a_{10}$$ — средний член между $$a_6$$ и $$a_{14}$$, значит
$$a_{10}=\frac{a_6+a_{14}}{2}=\frac{-4}{2}=-2.$$
$$a_{11}+a_{21}=-0{,}8.$$
Число $$a_{16}$$ — средний член между $$a_{11}$$ и $$a_{21}$$, значит
$$a_{16}=\frac{a_{11}+a_{21}}{2}=\frac{-0{,}8}{2}=-0{,}4.$$
$$a_{35}+a_{15}=1{,}2.$$
Число $$a_{25}$$ — средний член между $$a_{15}$$ и $$a_{35}$$, значит
$$a_{25}=\frac{a_{15}+a_{35}}{2}=\frac{1{,}2}{2}=0{,}6.$$

В геометрической прогрессии средний член трёх последовательных членов равен геометрическому среднему крайних:

$$b_2^2=b_1b_3,\qquad b_2=\pm\sqrt{b_1b_3}.$$

$$b_1=-2,\quad b_3=-32.$$
$$b_2=\pm\sqrt{(-2)\cdot(-32)}=\pm\sqrt{64}=\pm 8.$$
$$b_1=\frac17,\quad b_3=1\frac34=\frac74.$$
$$b_2=\pm\sqrt{\frac17\cdot\frac74}=\pm\sqrt{\frac14}=\pm\frac12.$$
$$b_1=-4{,}5,\quad b_3=-0{,}5.$$
$$b_2=\pm\sqrt{(-4{,}5)\cdot(-0{,}5)}=\pm\sqrt{2{,}25}=\pm1{,}5.$$
$$b_1=12,\quad b_3=48.$$
$$b_2=\pm\sqrt{12\cdot48}=\pm\sqrt{576}=\pm24.$$