Упр.32.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) имеет корни; б) не имеет корней. а) Числа х, у, z в указанном порядке образуют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии. Найдите эти числа.
б) Числа х, у, z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию, а числа x+y, y+z, z+x в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

1) Рассмотрим квадратное уравнение

$$x^2+(p-2)x-(p-5)=0.$$

Для существования корней нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

$$D=(p-2)^2-4\cdot 1\cdot (-(p-5))=(p-2)^2+4(p-5).$$

$$D=p^2-4p+4+4p-20=p^2-16.$$

Тогда:

а) уравнение имеет корни, если

$$p^2-16\ge 0,$$

$$ (p-4)(p+4)\ge 0,$$

откуда

$$p\le -4 \text{ или } p\ge 4.$$

б) уравнение не имеет корней, если

$$p^2-16<0,$$

$$ (p-4)(p+4)<0,$$

откуда

$$-4<p<4.$$

2) Пусть числа $$x, y, z$$ образуют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии.

Для арифметической прогрессии:

$$x+z=2y.$$

Для геометрической прогрессии:

$$y^2=xz.$$

Из первого равенства получаем

$$z=2y-x.$$

Подставим во второе:

$$y^2=x(2y-x),$$

$$y^2-2xy+x^2=0,$$

$$ (x-y)^2=0,$$

$$x=y.$$

Тогда

$$z=2x-x=x.$$

Следовательно,

$$x=y=z\ne 0.$$

3) Пусть числа $$x, y, z$$ образуют геометрическую прогрессию, а числа $$x+y,\, y+z,\, z+x$$ — арифметическую прогрессию.

Для арифметической прогрессии:

$$ (x+y)+(z+x)=2(y+z).$$

Отсюда

$$2x+y+z=2y+2z,$$

$$z=2x-y.$$

Для геометрической прогрессии:

$$y^2=xz=x(2x-y).$$

$$y^2+xy-2x^2=0.$$

Решим как квадратное уравнение относительно $$y$$:

$$D=x^2+8x^2=9x^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{-x\pm 3x}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=x,\qquad y_2=-2x.$$

Тогда знаменатель геометрической прогрессии:

$$q=\frac{y}{x}.$$

Если $$y=x$$, то $$q=1$$.

Если $$y=-2x$$, то $$q=-2$$.

Ответ

1) а) $$p\le -4$$ или $$p\ge 4$$; б) $$-4<p<4$$.

2) а) $$x=y=z\ne 0$$.

3) б) $$q=-2$$ или $$q=1$$.