Упр.32.12 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: В субботу покупатель приобрёл в магазине 3 рубашки и 4 футболки, заплатив за всё 2700 р. В воскресенье объявили распродажу и снизили цену рубашки на 10%, а цену футболки на 20%. Если бы покупатель приобрёл товар в воскресенье, то сэкономил бы 390 р. Какова первоначальна цена футболки? Три последовательных члена составляют арифметическую прогрессию. Если первое число удвоить, второе оставить без изменения, а третье увеличить на 6, то получится три последовательных числа геометрической прогрессии. Составьте арифметическую прогрессию, если второе число в 4 раза больше первого.
1) Обозначим: $$x$$ руб. — цена рубашки, $$y$$ руб. — цена футболки.
Тогда по условию в субботу:
$$3x+4y=2700.$$
В воскресенье рубашка стала дешевле на $$10\%$$, а футболка — на $$20\%$$, значит, стоимость покупки составила:
$$3\cdot 0{,}9x+4\cdot 0{,}8y=2310.$$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} 3x+4y=2700,\\ 2{,}7x+3{,}2y=2310. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$4y=2700-3x,$$
$$y=675-\frac{3}{4}x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ 2{,}7x+3{,}2\left(675-\frac{3}{4}x\right)=2310 $$
$$ 2{,}7x+2160-2{,}4x=2310 $$
$$ 0{,}3x=150,\quad x=500. $$
Тогда
$$ y=675-\frac{3}{4}\cdot 500=675-375=300. $$
2) Пусть три последовательных члена арифметической прогрессии равны $$a_1,\ a_2,\ a_3$$.
По условию:
$$ a_2=4a_1,\qquad 2a_1,\ a_2,\ a_3+6 $$
— три последовательных члена геометрической прогрессии.
Для арифметической прогрессии:
$$ a_2=\frac{a_1+a_3}{2} $$
$$ 4a_1=\frac{a_1+a_3}{2} $$
$$ 8a_1=a_1+a_3,\quad a_3=7a_1. $$
Для геометрической прогрессии:
$$ a_2^2=2a_1(a_3+6) $$
$$ (4a_1)^2=2a_1(7a_1+6) $$
$$ 16a_1^2=14a_1^2+12a_1 $$
$$ 2a_1^2-12a_1=0 $$
$$ 2a_1(a_1-6)=0 $$
Отсюда $$a_1=0$$ или $$a_1=6$$.
Если $$a_1=0$$, то $$a_2=0$$ и $$a_3=0$$ — тривиальный случай. Для ненулевой прогрессии:
$$ a_1=6,\quad a_2=4\cdot 6=24,\quad a_3=7\cdot 6=42. $$
Ответ
1) $$300$$ руб.
2) $$6,\ 24,\ 42$$.
