Упр.32.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: Докажите, что если числа 1/(a+b), 1/(a+c), 1/(c+b) в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа a^2, b^2, c^2 также образуют конечную арифметическую прогрессию. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если к первому из них прибавить 25, второе оставить без изменения, а третье разделить на 3, то получится конечная арифметическая прогрессия. Составьте геометрическую прогрессию, если второе число равно 60.

Пусть числа геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_2,\; b_3,$$ причём $$b_2=60.$$

После преобразований получаем арифметическую прогрессию:

$$b_1+25,\; 60,\; \frac{b_3}{3}.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен полусумме крайних:

$$60=\frac{(b_1+25)+\frac{b_3}{3}}{2}.$$

Тогда

$$b_1+25+\frac{b_3}{3}=120,$$

$$3b_1+75+b_3=360,$$

$$3b_1+b_3=285.$$

Так как числа $$b_1,\;60,\;b_3$$ образуют геометрическую прогрессию, то

$$60^2=b_1b_3,$$

$$b_1b_3=3600.$$

Подставим $$b_3=285-3b_1$$:

$$b_1(285-3b_1)=3600,$$

$$3b_1^2-285b_1+3600=0,$$

$$b_1^2-95b_1+1200=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=95^2-4\cdot1200=4225,$$

$$b_1=\frac{95\pm65}{2}.$$

Отсюда

$$b_1=15 \quad \text{или} \quad b_1=80.$$

Найдём третьи члены:

если $$b_1=15,$$ то $$b_3=\frac{3600}{15}=240;$$

если $$b_1=80,$$ то $$b_3=\frac{3600}{80}=45.$$

Следовательно, возможны две геометрические прогрессии:

$$15,\;60,\;240$$

или

$$80,\;60,\;45.$$

Ответ

$$15,\;60,\;240$$ или $$80,\;60,\;45.$$