Упр.32.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) ab+bc+ac=3ac; б) b/c+b/a=2. а) Найдите значение t, при котором числа t-3, 2vt, t+2 являются тремя последовательными членами геометрической последовательности.
б) Найдите значение t, при котором числа t-5, v(7t), t+4 являются тремя последовательными членами геометрической последовательности.

Пусть числа $$\frac1a,\ \frac1b,\ \frac1c$$ образуют арифметическую прогрессию. Тогда средний член равен полусумме соседних:

$$\frac1b=\frac{\frac1a+\frac1c}{2}.$$

Умножим на $$2abc$$:

$$2ac+2ab=2bc.$$

Перенесём слагаемые:

$$ab+bc+ac=3ac.$$

Равенство доказано.

Теперь докажем второе равенство. Из условия арифметической прогрессии:

$$\frac1c-\frac1b=\frac1b-\frac1a.$$

Преобразуем:

$$\frac{b-c}{bc}=\frac{a-b}{ab}.$$

После приведения к общему виду получаем:

$$\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2.$$

Равенство доказано.

а) Числа $$t-3,\ 2\sqrt{t},\ t+2$$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, значит:

$$\left(2\sqrt{t}\right)^2=(t-3)(t+2).$$

Тогда

$$4t=t^2-t-6,$$

$$t^2-5t-6=0.$$

$$D=25+24=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm7}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=-1,\quad t_2=6.$$

Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=6$$.

б) Числа $$t-5,\ \sqrt{7t},\ t+4$$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, значит:

$$\left(\sqrt{7t}\right)^2=(t-5)(t+4).$$

Тогда

$$7t=t^2-t-20,$$

$$t^2-8t-20=0.$$

$$D=64+80=144,$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm12}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=-2,\quad t_2=10.$$

Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=10$$.

Ответ

$$ab+bc+ac=3ac,\qquad \frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2;\qquad \text{а) } 6,\ \text{б) } 10.$$