Упр.31.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) -1, 2, 5, …; г) 3, 1, -1, …;
б) -2, -2 1/9, -2 2/9, …; д) 0,7, 1,7, 2,7, …;
в) v2, 2v2, 3v2, …; е) 4+v3, 3+v3, 2+v3, … . Является ли последовательность, заданная формулой n-го члена, геометрической прогрессией? Если является, то установите характер её монотонности:
а) x_n=5^(n-1); в) x_n=2/3^n;
б) x_n=2n^2+1; г) x_n=3·2^n+1.

Подробный ответ

Составим формулы n-го члена арифметической прогрессии по формуле $$a_n=a_1+d(n-1).$$

а) $$-1,\ 2,\ 5,\ldots$$
$$a_1=-1,\quad d=2-(-1)=3.$$
$$a_n=-1+3(n-1)=3n-4.$$
б) $$-2,\ -2\frac{1}{9},\ -2\frac{2}{9},\ldots$$
$$a_1=-2,\quad d=-2\frac{1}{9}-(-2)=-\frac{1}{9}.$$
$$a_n=-2-\frac{1}{9}(n-1)=-\frac{1}{9}n-\frac{17}{9}.$$
в) $$\sqrt{2},\ 2\sqrt{2},\ 3\sqrt{2},\ldots$$
$$a_1=\sqrt{2},\quad d=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}.$$
$$a_n=\sqrt{2}+\sqrt{2}(n-1)=n\sqrt{2}.$$
г) $$3,\ 1,\ -1,\ldots$$
$$a_1=3,\quad d=1-3=-2.$$
$$a_n=3-2(n-1)=5-2n.$$
д) $$0{,}7,\ 1{,}7,\ 2{,}7,\ldots$$
$$a_1=0{,}7,\quad d=1{,}7-0{,}7=1.$$
$$a_n=0{,}7+(n-1)=n-0{,}3.$$
е) $$4+\sqrt{3},\ 3+\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3},\ldots$$
$$a_1=4+\sqrt{3},\quad d=(3+\sqrt{3})-(4+\sqrt{3})=-1.$$
$$a_n=4+\sqrt{3}-(n-1)=5+\sqrt{3}-n.$$

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией.

а) $$x_n=5^{n-1}.$$
$$q=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{5^n}{5^{n-1}}=5.$$
Это геометрическая прогрессия, $$q>1$$, значит она возрастающая.
б) $$x_n=2n^2+1.$$
$$x_1=3,\quad x_2=9,\quad x_3=19.$$
$$\frac{x_2}{x_1}=3,\quad \frac{x_3}{x_2}=\frac{19}{9}\neq 3.$$
Это не геометрическая прогрессия.
в) $$x_n=\frac{2}{3^n}.$$
$$q=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{2/3^{n+1}}{2/3^n}=\frac{1}{3}.$$
Это геометрическая прогрессия, $$0<q<1$$, значит она убывающая.
г) $$x_n=3\cdot 2^n+1.$$
$$x_1=7,\quad x_2=13,\quad x_3=25.$$
$$\frac{x_2}{x_1}=\frac{13}{7},\quad \frac{x_3}{x_2}=\frac{25}{13},$$
отношения не равны, значит это не геометрическая прогрессия.