Упр.31.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Составим формулы n-го члена арифметической прогрессии по формуле $$a_n=a_1+d(n-1).$$

1. а) $$-1,\ 2,\ 5,\ldots$$

   $$a_1=-1,\quad d=2-(-1)=3.$$

   $$a_n=-1+3(n-1)=3n-4.$$

2. б) $$-2,\ -2\frac{1}{9},\ -2\frac{2}{9},\ldots$$

   $$a_1=-2,\quad d=-2\frac{1}{9}-(-2)=-\frac{1}{9}.$$

   $$a_n=-2-\frac{1}{9}(n-1)=-\frac{1}{9}n-\frac{17}{9}.$$

3. в) $$\sqrt{2},\ 2\sqrt{2},\ 3\sqrt{2},\ldots$$

   $$a_1=\sqrt{2},\quad d=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}.$$

   $$a_n=\sqrt{2}+\sqrt{2}(n-1)=n\sqrt{2}.$$

4. г) $$3,\ 1,\ -1,\ldots$$

   $$a_1=3,\quad d=1-3=-2.$$

   $$a_n=3-2(n-1)=5-2n.$$

5. д) $$0{,}7,\ 1{,}7,\ 2{,}7,\ldots$$

   $$a_1=0{,}7,\quad d=1{,}7-0{,}7=1.$$

   $$a_n=0{,}7+(n-1)=n-0{,}3.$$

6. е) $$4+\sqrt{3},\ 3+\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3},\ldots$$

   $$a_1=4+\sqrt{3},\quad d=(3+\sqrt{3})-(4+\sqrt{3})=-1.$$

   $$a_n=4+\sqrt{3}-(n-1)=5+\sqrt{3}-n.$$

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией.

1. а) $$x_n=5^{n-1}.$$

   $$q=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{5^n}{5^{n-1}}=5.$$

   Это геометрическая прогрессия, $$q>1$$, значит она возрастающая.

2. б) $$x_n=2n^2+1.$$

   $$x_1=3,\quad x_2=9,\quad x_3=19.$$

   $$\frac{x_2}{x_1}=3,\quad \frac{x_3}{x_2}=\frac{19}{9}\neq 3.$$

   Это не геометрическая прогрессия.

3. в) $$x_n=\frac{2}{3^n}.$$

   $$q=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{2/3^{n+1}}{2/3^n}=\frac{1}{3}.$$

   Это геометрическая прогрессия, $$0<q<1$$, значит она убывающая.

4. г) $$x_n=3\cdot 2^n+1.$$

   $$x_1=7,\quad x_2=13,\quad x_3=25.$$

   $$\frac{x_2}{x_1}=\frac{13}{7},\quad \frac{x_3}{x_2}=\frac{25}{13},$$

   отношения не равны, значит это не геометрическая прогрессия.

Ответ

Арифметическая прогрессия:

а) $$a_n=3n-4$$; б) $$a_n=-\frac{1}{9}n-\frac{17}{9}$$; в) $$a_n=n\sqrt{2}$$; г) $$a_n=5-2n$$; д) $$a_n=n-0{,}3$$; е) $$a_n=5+\sqrt{3}-n$$.

Геометрическая прогрессия:

а) да, возрастающая; б) нет; в) да, убывающая; г) нет.