Упр.31.33 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: При делении шестнадцатого члена арифметической прогрессии на восьмой член в частном получается 2, а в остатке 3, а при делении одиннадцатого члена на четвёртый — в частном 3, а в остатке 1. Найдите двадцатый член данной прогрессии.

Обозначим первый член арифметической прогрессии через $$a_1$$, а разность — через $$d$$. Тогда

$$a_{16}=a_1+15d,\quad a_8=a_1+7d,\quad a_{11}=a_1+10d,\quad a_4=a_1+3d.$$

По условию:

$$a_{16}=2a_8+3,$$

$$a_{11}=3a_4+1.$$

Подставим выражения через $$a_1$$ и $$d$$:

$$a_1+15d=2(a_1+7d)+3,$$

$$a_1+10d=3(a_1+3d)+1.$$

Из первого уравнения получаем:

$$a_1+15d=2a_1+14d+3,$$

$$d=a_1+3.$$

Из второго уравнения:

$$a_1+10d=3a_1+9d+1,$$

$$d=2a_1+1.$$

Приравняем выражения для $$d$$:

$$a_1+3=2a_1+1,$$

$$a_1=2.$$

Тогда

$$d=2\cdot 2+1=5.$$

Найдём двадцатый член прогрессии:

$$a_{20}=a_1+19d=2+19\cdot 5=97.$$

Ответ

$$97$$