Упр.31.30 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) a_5+a_8=16, a_7-a_2=4; б) a_5+a_7=4,5, a_8+a_10=-18. Расстояние между двумя пристанями, равное 210 км, катер проходит по течению реки на 4 ч быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера 18 км/ч.

а) Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+(n-1)d$$.

Составим уравнения по условию:

$$a_5+a_8=16,$$
$$a_7-a_2=4.$$

Подставим формулу общего члена:

$$a_1+4d+a_1+7d=16,$$
$$a_1+6d-a_1-d=4.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 2a_1+11d=16,\\ 5d=4. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$d=0{,}8.$$

Тогда из первого:

$$2a_1+11\cdot 0{,}8=16,$$
$$2a_1+8{,}8=16,$$
$$2a_1=7{,}2,$$
$$a_1=3{,}6.$$

б) Составим уравнения:

$$a_5+a_7=4{,}5,$$
$$a_8+a_{10}=-18.$$

Подставим формулу общего члена:

$$a_1+4d+a_1+6d=4{,}5,$$
$$a_1+7d+a_1+9d=-18.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 2a_1+10d=4{,}5,\\ 2a_1+16d=-18. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$6d=-22{,}5,$$
$$d=-3{,}75.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a_1+10\cdot(-3{,}75)=4{,}5,$$
$$2a_1-37{,}5=4{,}5,$$
$$2a_1=42,$$
$$a_1=21.$$

в) Пусть $$x$$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению равна $$18+x$$, а против течения — $$18-x$$.

По условию:

$$\frac{210}{18-x}-\frac{210}{18+x}=4.$$

Умножим на $$\left(18-x\right)\left(18+x\right)$$:

$$210(18+x)-210(18-x)=4(18-x)(18+x).$$

Упростим:

$$420x=4(324-x^2),$$
$$420x=1296-4x^2,$$
$$4x^2+420x-1296=0,$$
$$x^2+105x-324=0.$$

Найдём корни:

$$D=105^2+4\cdot 324=12321,$$
$$\sqrt{D}=111.$$

$$x=\frac{-105\pm 111}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-108,\quad x_2=3.$$

Так как скорость течения не может быть отрицательной, берём $$x=3$$.

Ответ

а) $$a_1=3{,}6,\ d=0{,}8$$; б) $$a_1=21,\ d=-3{,}75$$; в) $$3$$ км/ч.