Упр.31.29 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) a_1=5, d=-4, A=-11; б) a_1=42, d=-3, A=27. Решите систему уравнений:
а) {3x-y=1, y/x-4x/y=3};
б) {7x+2y=6, y/x+5x/y=-6}.

1) Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+d(n-1).$$

а) $$a_1=5,\ d=-4,\ A=-11.$$ Тогда

$$a_n=5-4(n-1)\ge -11,$$

$$5-4n+4\ge -11,$$

$$9-4n\ge -11,$$

$$-4n\ge -20,$$

$$n\le 5.$$

Значит, подходят номера $$1,2,3,4,5.$$

б) $$a_1=42,\ d=-3,\ A=27.$$ Тогда

$$a_n=42-3(n-1)\ge 27,$$

$$42-3n+3\ge 27,$$

$$45-3n\ge 27,$$

$$-3n\ge -18,$$

$$n\le 6.$$

Значит, подходят номера $$1,2,3,4,5,6.$$

2) Решим систему.

а)

$$ \begin{cases} 3x-y=1,\\ \dfrac{y}{x}-\dfrac{4x}{y}=3. \end{cases} $$

Положим $$t=\dfrac{y}{x}$$, тогда $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{t}$$ и

$$t-\dfrac{4}{t}=3.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-3t-4=0,$$

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)=0.$$

Отсюда $$t=4$$ или $$t=-1.$$

Если $$t=4,$$ то $$y=4x,$$ и из $$3x-y=1$$ получаем

$$3x-4x=1,$$

$$x=-1,\quad y=-4.$$

Если $$t=-1,$$ то $$y=-x,$$ и из $$3x-y=1$$ получаем

$$3x+x=1,$$

$$x=\dfrac14,\quad y=-\dfrac14.$$

Следовательно, решения системы:

$$\left(\dfrac14;\,-\dfrac14\right),\ (-1;\,-4).$$

б)

$$ \begin{cases} 7x+2y=6,\\ \dfrac{y}{x}+\dfrac{5x}{y}=-6. \end{cases} $$

Положим $$t=\dfrac{y}{x}.$$ Тогда

$$t+\dfrac{5}{t}=-6.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2+6t+5=0,$$

$$\left(t+1\right)\left(t+5\right)=0.$$

Отсюда $$t=-1$$ или $$t=-5.$$

Если $$t=-5,$$ то $$y=-5x,$$ и из $$7x+2y=6$$ получаем

$$7x-10x=6,$$

$$-3x=6,\quad x=-2,\quad y=10.$$

Если $$t=-1,$$ то $$y=-x,$$ и из $$7x+2y=6$$ получаем

$$7x-2x=6,$$

$$5x=6,\quad x=\dfrac65,\quad y=-\dfrac65.$$

Следовательно, решения системы:

$$(-2;\,10),\ \left(\dfrac65;\,-\dfrac65\right).$$

Ответ

1) а) $$1,2,3,4,5$$; б) $$1,2,3,4,5,6$$. 2) а) $$\left(\dfrac14;\,-\dfrac14\right),\ (-1;\,-4)$$; б) $$(-2;\,10),\ \left(\dfrac65;\,-\dfrac65\right).$$