Упр.31.27 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) a_1=5, d=-4, A=-27; в) a_1=16, d=-3, A=-8;
б) a_1=2, d=-1,5, A=-13,6; г) a_1=110, d=-5, A=1. В прямоугольник вписывается ромб, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника. В полученный ромб аналогичным образом вписывается прямоугольник, а в него снова ромб и т. д. Докажите, что площади полученных фигур образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Подробный ответ

а) $$a_n=a_1+d(n-1)=5-4(n-1).$$
Требуется, чтобы $$a_n<-27$$:
$$5-4(n-1)<-27$$
$$9-4n<-27$$
$$4n>36,$$ значит $$n>9.$$
Следовательно, неравенство выполняется, начиная с $$n=10.$$
б) $$a_n=2-1{,}5(n-1).$$
Требуется, чтобы $$a_n<-13{,}6$$:
$$2-1{,}5(n-1)<-13{,}6$$
$$3{,}5-1{,}5n<-13{,}6$$
$$1{,}5n>17{,}1,$$ значит $$n>11{,}4.$$
Следовательно, неравенство выполняется, начиная с $$n=12.$$
в) $$a_n=16-3(n-1).$$
Требуется, чтобы $$a_n<-8$$:
$$16-3(n-1)<-8$$
$$19-3n<-8$$
$$3n>27,$$ значит $$n>9.$$
Следовательно, неравенство выполняется, начиная с $$n=10.$$
г) $$a_n=110-5(n-1).$$
Требуется, чтобы $$a_n<1$$:
$$110-5(n-1)<1$$
$$115-5n<1$$
$$5n>114,$$ значит $$n>22{,}8.$$
Следовательно, неравенство выполняется, начиная с $$n=23.$$

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда его площадь равна $$S_1=ab$$.

Если в прямоугольник вписан ромб с вершинами в серединах сторон, то его диагонали равны сторонам прямоугольника, поэтому

$$S_2=\frac{1}{2}ab.$$

При следующем вписывании прямоугольника его стороны снова уменьшаются в 2 раза, значит площадь уменьшается в 4 раза. Для ромба получается то же самое: каждая следующая фигура имеет площадь в $$\frac{1}{2}$$ раза меньше предыдущей соответствующей фигуры.

Следовательно, площади полученных фигур образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

$$q=\frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{1}{2}.$$