Упр.31.26 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Найдите номер члена арифметической прогрессии $$(a_n)$$, начиная с которого выполняется неравенство $$a_n>A$$, если:
а) $$a_1=-12$$, $$d=3$$, $$A=150$$;
в) $$a_1=-45$$, $$d=5$$, $$A=75$$;
б) $$a_1=8$$, $$d=1{,}5$$, $$A=23{,}3$$;
г) $$a_1=14$$, $$d=0{,}6$$, $$A=29{,}3$$. - В квадрат со стороной 32 см последовательно вписывают квадраты. Вершины каждого следующего квадрата являются серединами сторон предыдущего квадрата. Докажите, что периметры квадратов образуют геометрическую прогрессию. Запишите формулу $$n$$-го члена полученной прогрессии.
Для арифметической прогрессии используем формулу
$$a_n=a_1+d(n-1).$$
а) $$-12+3(n-1)>150$$
$$3n-15>150$$
$$3n>165$$
$$n>55$$
Значит, наименьшее подходящее значение $$n=56$$.
б) $$8+1{,}5(n-1)>23{,}3$$
$$1{,}5n+6{,}5>23{,}3$$
$$1{,}5n>16{,}8$$
$$n>11{,}2$$
Значит, наименьшее подходящее значение $$n=12$$.
в) $$-45+5(n-1)>75$$
$$5n-50>75$$
$$5n>125$$
$$n>25$$
Значит, наименьшее подходящее значение $$n=26$$.
г) $$14+0{,}6(n-1)>29{,}3$$
$$0{,}6n+13{,}4>29{,}3$$
$$0{,}6n>15{,}9$$
$$n>26{,}5$$
Значит, наименьшее подходящее значение $$n=27$$.
Теперь рассмотрим квадраты.
Пусть сторона первого квадрата равна $$a=32$$ см. Тогда его периметр
$$b_1=4a=128.$$
Если сторона очередного квадрата равна $$a$$, то сторона следующего квадрата — расстояние между серединами соседних сторон, то есть
$$c=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt2}{2}.$$
Тогда периметр следующего квадрата равен
$$b_{n+1}=4\cdot \frac{a\sqrt2}{2}=2a\sqrt2.$$
Так как $$b_n=4a$$, то
$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2a\sqrt2}{4a}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Следовательно, периметры квадратов образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$b_1=128$$ и знаменателем $$q=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Формула n-го члена:
$$b_n=128\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n-1}.$$
Можно также записать:
$$b_n=2^{\frac{15-n}{2}}.$$
Ответ
а) $$56$$; б) $$12$$; в) $$26$$; г) $$27$$; $$b_n=128\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n-1}=2^{\frac{15-n}{2}}.$$
