Упр.31.25 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Найдите номера членов арифметической прогрессии $$(a_n)$$, для которых выполняется неравенство $$a_n>A$$, если:
   а) $$a_n=-3n+11$$, $$A=-4$$;
   б) $$a_n=15-4n$$, $$A=1$$.
2. Задание учебника 2023 года. Составьте геометрическую прогрессию, состоящую из шести членов, если сумма трёх первых членов равна 22, а сумма трёх последних — 176.

1) Найдём номера членов арифметической прогрессии, для которых $$a_n>A$$.

а) $$a_n=-3n+11,\quad A=-4$$

$$-3n+11>-4$$
$$-3n>-15$$
$$n<5$$

Так как номер члена прогрессии — натуральное число, получаем:

$$n=1,2,3,4.$$

б) $$a_n=15-4n,\quad A=1$$

$$15-4n>1$$
$$-4n>-14$$
$$n<\frac{14}{4}=3{,}5$$

Следовательно,

$$n=1,2,3.$$

2) Составим геометрическую прогрессию из шести членов.

Пусть её первый член равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда:

$$b_1+b_2+b_3=22$$
$$b_4+b_5+b_6=176$$

Так как $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2,\; b_4=b_1q^3,\; b_5=b_1q^4,\; b_6=b_1q^5,$$ имеем:

$$b_1(1+q+q^2)=22$$
$$b_1q^3(1+q+q^2)=176$$

Разделим второе равенство на первое:

$$q^3=\frac{176}{22}=8$$
$$q=2$$

Подставим в первое равенство:

$$b_1(1+2+4)=22$$
$$7b_1=22$$
$$b_1=\frac{22}{7}=3\frac{1}{7}$$

Тогда члены прогрессии:

$$b_1=3\frac{1}{7},\quad b_2=6\frac{2}{7},\quad b_3=12\frac{4}{7},\quad b_4=25\frac{1}{7},\quad b_5=50\frac{2}{7},\quad b_6=100\frac{4}{7}$$

Ответ

а) $$1,2,3,4$$; б) $$1,2,3$$; геометрическая прогрессия: $$3\frac{1}{7},\ 6\frac{2}{7},\ 12\frac{4}{7},\ 25\frac{1}{7},\ 50\frac{2}{7},\ 100\frac{4}{7}.$$