Упр.31.24 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) a_n=3n-14, A=4; б) a_n=5n+17, A=52. Разность между третьим и четвёртым членами геометрической прогрессии равна 17, а сумма — 51. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

1. Найдём номера членов арифметической прогрессии, для которых выполняется неравенство $$a_n<A$$.

   а) $$a_n=3n-14,\quad A=4$$

   $$3n-14<4$$
   $$3n<18$$
   $$n<6$$

   Так как номер члена прогрессии — натуральное число, получаем:

   $$n=1,2,3,4,5$$

2. б) $$a_n=5n+17,\quad A=52$$

   $$5n+17<52$$
   $$5n<35$$
   $$n<7$$

   Следовательно, подходят номера:

   $$n=1,2,3,4,5,6$$

3. Пусть в геометрической прогрессии первый член равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда

   $$b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3$$

   По условию:

   $$b_3-b_4=17$$
   $$b_3+b_4=51$$

   Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

   $$b_1q^2-b_1q^3=17$$
   $$b_1q^2(1-q)=17$$

   $$b_1q^2+b_1q^3=51$$
   $$b_1q^2(1+q)=51$$

   Разделим второе равенство на первое:

   $$\frac{1+q}{1-q}=\frac{51}{17}=3$$
   $$1+q=3(1-q)$$
   $$1+q=3-3q$$
   $$4q=2$$
   $$q=\frac12$$

   Теперь найдём $$b_1$$:

   $$b_1q^2(1-q)=17$$
   $$b_1\cdot \frac14 \cdot \frac12=17$$
   $$\frac{b_1}{8}=17$$
   $$b_1=136$$

Ответ

а) $$1,2,3,4,5$$; б) $$1,2,3,4,5,6$$; $$b_1=136,\ q=\frac12$$.