Упр.31.23 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) -14, -11,5, -9, … положительны;
б) 15, 12,5, 10, … неположительны;
в) 27, 25,5, 24, … отрицательны;
г) -32, -25,6, -18,2, … неотрицательны. Первый член геометрической прогрессии (b_n) равен 4, а сумма третьего и пятого — 80. Найдите знаменатель прогрессии и b_6.
а) Для арифметической прогрессии $$a_1=-14,\ a_2=-11{,}5$$ находим разность:
$$d=-11{,}5-(-14)=2{,}5.$$
Общий член:
$$a_n=-14+2{,}5(n-1).$$
Требуем положительность:
$$-14+2{,}5(n-1)>0$$
$$2{,}5n-16{,}5>0$$
$$2{,}5n>16{,}5$$
$$n>6{,}6.$$
Значит, начиная с $$7$$-го члена все члены прогрессии положительны.
б) $$a_1=15,\ a_2=12{,}5,$$
$$d=12{,}5-15=-2{,}5.$$
Тогда
$$a_n=15-2{,}5(n-1).$$
Нужно, чтобы члены были неположительными:
$$15-2{,}5(n-1)\le 0$$
$$17{,}5-2{,}5n\le 0$$
$$2{,}5n\ge 17{,}5$$
$$n\ge 7.$$
Следовательно, начиная с $$7$$-го номера все члены неположительны.
в) $$a_1=27,\ a_2=25{,}5,$$
$$d=25{,}5-27=-1{,}5.$$
Общий член:
$$a_n=27-1{,}5(n-1).$$
Требуем отрицательность:
$$27-1{,}5(n-1)<0$$
$$28{,}5-1{,}5n<0$$
$$1{,}5n>28{,}5$$
$$n>19.$$
Значит, начиная с $$20$$-го члена все члены отрицательны.
г) $$a_1=-32,\ a_2=-25{,}6,$$
$$d=-25{,}6-(-32)=6{,}4.$$
Тогда
$$a_n=-32+6{,}4(n-1).$$
Нужно, чтобы члены были неотрицательными:
$$-32+6{,}4(n-1)\ge 0$$
$$6{,}4n-38{,}4\ge 0$$
$$6{,}4n\ge 38{,}4$$
$$n\ge 6.$$
Следовательно, начиная с $$6$$-го номера все члены прогрессии неотрицательны.
Геометрическая прогрессия. Пусть знаменатель равен $$q$$. Тогда
$$b_1=4,\quad b_3=4q^2,\quad b_5=4q^4.$$
По условию:
$$b_3+b_5=80,$$
значит
$$4q^2+4q^4=80$$
$$q^4+q^2-20=0.$$
Обозначим $$x=q^2$$. Тогда
$$x^2+x-20=0$$
$$ (x-4)(x+5)=0.$$
Так как $$q^2\ge 0,$$ получаем $$x=4,$$ то есть
$$q^2=4 \Rightarrow q=\pm 2.$$
Найдём $$b_6$$:
$$b_6=b_1q^5=4q^5.$$
Если $$q=2,$$ то
$$b_6=4\cdot 2^5=128.$$
Если $$q=-2,$$ то
$$b_6=4\cdot (-2)^5=-128.$$
Ответ
а) $$7$$; б) $$7$$; в) $$20$$; г) $$6$$; $$q=\pm 2,$$ $$b_6=128$$ при $$q=2$$ и $$b_6=-128$$ при $$q=-2$$.
