Упр.31.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Число -4 является членом арифметической прогрессии 2, 4/3, 2/3, … . Найдите номер этого члена прогрессии. Известно, что число b_n, является членом данной геометрической прогрессии. Найдите его номер n:
а) (b_n) 1, 1/3, 1/9, … и b_n=1/729;
б) (b_n) 5/2, 5, 10, … и b_n=160;
в) (b_n) 256, 128, 64, … и b_n=1/4;
г) (b_n) 2/5, 6/5, 18/5, … и b_n=486/5.

а) Для арифметической прогрессии $$-1,\,-0{,}5,\,0,\ldots$$ имеем:

$$a_1=-1,\quad d=-0{,}5-(-1)=0{,}5.$$

Общий член:

$$a_n=a_1+d(n-1)=-1+0{,}5(n-1).$$

Так как $$a_n=15,$$ получаем:

$$-1+0{,}5(n-1)=15$$

$$0{,}5(n-1)=16$$

$$n-1=32,\quad n=33.$$

б) Для арифметической прогрессии $$2,\ \frac{4}{3},\ \frac{2}{3},\ldots$$ имеем:

$$a_1=2,\quad d=\frac{4}{3}-2=-\frac{2}{3}.$$

Общий член:

$$a_n=2-\frac{2}{3}(n-1).$$

Так как $$a_n=-4,$$ получаем:

$$2-\frac{2}{3}(n-1)=-4$$

$$-\frac{2}{3}(n-1)=-6$$

$$n-1=9,\quad n=10.$$

в) Для геометрической прогрессии $$1,\ \frac13,\ \frac19,\ldots$$ имеем:

$$b_1=1,\quad q=\frac13.$$

Общий член:

$$b_n=b_1q^{\,n-1}=\left(\frac13\right)^{n-1}.$$

Так как $$b_n=\frac1{729},$$ то

$$\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac1{729}=\frac1{3^6}.$$

Следовательно,

$$n-1=6,\quad n=7.$$

г) Для геометрической прогрессии $$\frac52,\ 5,\ 10,\ldots$$ имеем:

$$b_1=\frac52,\quad q=\frac{5}{\frac52}=2.$$

Общий член:

$$b_n=\frac52\cdot 2^{\,n-1}.$$

Так как $$b_n=160,$$ получаем:

$$\frac52\cdot 2^{\,n-1}=160$$

$$2^{\,n-1}=64=2^6.$$

Значит,

$$n-1=6,\quad n=7.$$

д) Для геометрической прогрессии $$256,\ 128,\ 64,\ldots$$ имеем:

$$b_1=256,\quad q=\frac{128}{256}=\frac12.$$

Общий член:

$$b_n=256\left(\frac12\right)^{n-1}.$$

Так как $$b_n=\frac14,$$ то

$$256\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac14$$

$$\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac1{1024}=\frac1{2^{10}}.$$

Следовательно,

$$n-1=10,\quad n=11.$$

е) Для геометрической прогрессии $$\frac25,\ \frac65,\ \frac{18}{5},\ldots$$ имеем:

$$b_1=\frac25,\quad q=\frac{\frac65}{\frac25}=3.$$

Общий член:

$$b_n=\frac25\cdot 3^{\,n-1}.$$

Так как $$b_n=\frac{486}{5},$$ получаем:

$$\frac25\cdot 3^{\,n-1}=\frac{486}{5}$$

$$3^{\,n-1}=243=3^5.$$

Значит,

$$n-1=5,\quad n=6.$$

Ответ

а) $$33$$; б) $$10$$; в) $$7$$; г) $$7$$; д) $$11$$; е) $$6$$.