Упр.31.19 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Составьте формулу $$n$$-го члена арифметической прогрессии $$\left(a_n\right)$$, если:
а) $$a_5=27,\ a_{12}=13$$;
в) $$a_9=-18,\ a_{19}=-48$$;
б) $$a_5=0{,}1,\ a_{16}=-5{,}4$$;
г) $$a_7=-0{,}8,\ a_{15}=-7{,}2$$.
Выясните, является ли число $$B$$ членом геометрической прогрессии $$\left(b_n\right)$$, если:
а) $$b_n=6\cdot0{,}1^{n+1},\ B=0{,}6$$;
в) $$b_n=({v2})^n,\ B=8$$;
б) $$b_n=\frac{7}{2^{2-n}},\ B=112$$;
г) $$b_n=\frac{2}{5}\cdot5^{2n+1},\ B=250$$.

Подробный ответ

Для арифметической прогрессии используем формулу
$$a_n=a_1+(n-1)d.$$
а) $$a_5=27,\ a_{12}=13.$$
$$a_{12}=a_5+7d,$$
$$13=27+7d,$$
$$7d=-14,\ d=-2.$$
$$a_1=a_5-4d=27-4\cdot(-2)=35.$$
$$a_n=35-2(n-1)=37-2n.$$
б) $$a_5=0{,}1,\ a_{16}=-5{,}4.$$
$$a_{16}=a_5+11d,$$
$$-5{,}4=0{,}1+11d,$$
$$11d=-5{,}5,\ d=-0{,}5.$$
$$a_1=a_5-4d=0{,}1-4\cdot(-0{,}5)=2{,}1.$$
$$a_n=2{,}1-0{,}5(n-1)=2{,}6-0{,}5n.$$
в) $$a_9=-18,\ a_{19}=-48.$$
$$a_{19}=a_9+10d,$$
$$-48=-18+10d,$$
$$10d=-30,\ d=-3.$$
$$a_1=a_9-8d=-18-8\cdot(-3)=6.$$
$$a_n=6-3(n-1)=9-3n.$$
г) $$a_7=-0{,}8,\ a_{15}=-7{,}2.$$
$$a_{15}=a_7+8d,$$
$$-7{,}2=-0{,}8+8d,$$
$$8d=-6{,}4,\ d=-0{,}8.$$
$$a_1=a_7-6d=-0{,}8-6\cdot(-0{,}8)=4.$$
$$a_n=4-0{,}8(n-1)=4{,}8-0{,}8n.$$
Проверим, является ли число $$B$$ членом геометрической прогрессии.
а) $$b_n=6\cdot 0{,}1^{\,n+1},\ B=0{,}6.$$
$$6\cdot 0{,}1^{\,n+1}=0{,}6,$$
$$0{,}1^{\,n+1}=0{,}1,$$
$$n+1=1,\ n=0.$$
Такого номера члена прогрессии нет, значит, нет.
б) $$b_n=\frac{7}{2^{\,2-n}},\ B=112.$$
$$\frac{7}{2^{\,2-n}}=112,$$
$$2^{\,2-n}=\frac{7}{112}=\frac{1}{16},$$
$$2^{\,2-n}=2^{-4},$$
$$2-n=-4,\ n=6.$$
Значит, да.
в) $$b_n=(\sqrt{2})^n,\ B=8.$$
$$(\sqrt{2})^n=8,$$
$$2^{n/2}=2^3,$$
$$\frac{n}{2}=3,\ n=6.$$
Значит, да.
г) $$b_n=\frac{2}{5}\cdot 5^{\,2n+1},\ B=250.$$
$$\frac{2}{5}\cdot 5^{\,2n+1}=250,$$
$$2\cdot 5^{\,2n}=250,$$
$$5^{\,2n}=125=5^3,$$
$$2n=3,\ n=1{,}5.$$
Натурального номера нет, значит, нет.