Упр.31.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Дана конечная арифметическая прогрессия $$\left(a_n\right)$$. Найдите $$a_n$$, если: а) $$a_1=1$$, $$d=-2$$, $$n=9$$; в) $$a_1=1{,}5$$, $$d=-1{,}5$$, $$n=21$$; б) $$a_1=\frac{3}{4}$$, $$d=-\frac{1}{3}$$, $$n=13$$; г) $$a_1=-0{,}2$$, $$d=-1{,}8$$, $$n=7$$.
- Составьте формулу $$n$$-го члена геометрической прогрессии: а) $$32,\ 16,\ 8,\ \ldots$$; в) $$\frac{2}{3},\ -\frac{2}{9},\ \frac{2}{27},\ \ldots$$; б) $$5,\ 1,\ 0{,}2,\ \ldots$$; г) $$-1,\ \sqrt{2},\ -2,\ \ldots$$.
Для арифметической прогрессии используем формулу
$$a_n=a_1+(n-1)d.$$
$$a_1=1,\ d=-2,\ n=9$$
$$a_9=1+8\cdot(-2)=1-16=-15.$$
$$a_1=\frac34,\ d=-\frac13,\ n=13$$
$$a_{13}=\frac34+12\cdot\left(-\frac13\right)=\frac34-4=-3\frac14.$$
$$a_1=1{,}5,\ d=-1{,}5,\ n=21$$
$$a_{21}=1{,}5+20\cdot(-1{,}5)=1{,}5-30=-28{,}5.$$
$$a_1=-0{,}2,\ d=-1{,}8,\ n=7$$
$$a_7=-0{,}2+6\cdot(-1{,}8)=-0{,}2-10{,}8=-11.$$
Для геометрической прогрессии используем формулу
$$b_n=b_1q^{n-1},$$
где $$q=\frac{b_2}{b_1}.$$
$$32,\ 16,\ 8,\ldots$$
$$q=\frac{16}{32}=\frac12,$$
$$b_n=32\left(\frac12\right)^{n-1}=2^{6-n}.$$
$$5,\ 1,\ 0{,}2,\ldots$$
$$q=\frac15,$$
$$b_n=5\left(\frac15\right)^{n-1}=5^{2-n}.$$
$$\frac23,\ -\frac29,\ \frac{2}{27},\ldots$$
$$q=\frac{-\frac29}{\frac23}=-\frac13,$$
$$b_n=\frac23\left(-\frac13\right)^{n-1}=\frac{2(-1)^{n-1}}{3^n}.$$
$$-1,\ \sqrt2,\ -2,\ldots$$
$$q=\frac{\sqrt2}{-1}=-\sqrt2,$$
$$b_n=-1\cdot(-\sqrt2)^{\,n-1}=(-1)^n(\sqrt2)^{\,n-1}.$$
Ответ
Арифметическая прогрессия: а) $$-15$$; б) $$-3\frac14$$; в) $$-28{,}5$$; г) $$-11$$.
Геометрическая прогрессия: а) $$b_n=32\left(\frac12\right)^{n-1}=2^{6-n}$$; б) $$b_n=5\left(\frac15\right)^{n-1}=5^{2-n}$$; в) $$b_n=\frac23\left(-\frac13\right)^{n-1}=\frac{2(-1)^{n-1}}{3^n}$$; г) $$b_n=-1\cdot(-\sqrt2)^{\,n-1}=(-1)^n(\sqrt2)^{\,n-1}$$.
