Упр.31.12 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) y_n=6n-5; в) y_n=0,5·2^(n-1); д) y_n=-n+9;
б) y_n=2n^2; г) y_n=(2n-3)/4; е) y_n=4/n. Геометрическая прогрессия (b_n) задана формулой n-го члена. Найдите b_1 и q:
а) b_n=0,1^(n+1); в) b_n=2/3·3^(2n-1);
б) b_n=3·(v2)^n; г) b_n=5/2^(2n).

Подробный ответ

Арифметическая прогрессия

$$y_n=6n-5$$
Найдём разность:
$$d=y_{n+1}-y_n=6(n+1)-5-(6n-5)=6.$$
Значит, это арифметическая прогрессия.
$$y_n=2n^2$$
Первые члены:
$$y_1=2,\quad y_2=8,\quad y_3=18.$$
Разности:
$$d_1=8-2=6,\quad d_2=18-8=10.$$
Разности не равны, значит, это не арифметическая прогрессия.
$$y_n=0{,}5\cdot 2^{n-1}$$
Первые члены:
$$y_1=0{,}5,\quad y_2=1,\quad y_3=2.$$
Разности:
$$d_1=1-0{,}5=0{,}5,\quad d_2=2-1=1.$$
Разности не равны, значит, это не арифметическая прогрессия.
$$y_n=\frac{2n-3}{4}$$
Найдём разность:
$$d=y_{n+1}-y_n=\frac{2(n+1)-3}{4}-\frac{2n-3}{4}=\frac{1}{2}.$$
Значит, это арифметическая прогрессия.
$$y_n=-n+9$$
Найдём разность:
$$d=y_{n+1}-y_n=\bigl(-(n+1)+9\bigr)-(-n+9)=-1.$$
Значит, это арифметическая прогрессия.
$$y_n=\frac{4}{n}$$
Первые члены:
$$y_1=4,\quad y_2=2,\quad y_3=\frac{4}{3}.$$
Разности:
$$d_1=2-4=-2,\quad d_2=\frac{4}{3}-2=-\frac{2}{3}.$$
Разности не равны, значит, это не арифметическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия

$$b_n=0{,}1^{\,n+1}$$
$$b_1=0{,}1^2=0{,}01,\quad b_2=0{,}1^3=0{,}001.$$
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{0{,}001}{0{,}01}=0{,}1.$$
$$b_n=3\cdot (\sqrt{2})^n$$
$$b_1=3\sqrt{2},\quad b_2=3\cdot 2=6.$$
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$$
$$b_n=\frac{2}{3}\cdot 3^{2n-1}$$
$$b_1=\frac{2}{3}\cdot 3=2,\quad b_2=\frac{2}{3}\cdot 27=18.$$
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{18}{2}=9.$$
$$b_n=\frac{5}{2^{2n}}$$
$$b_1=\frac{5}{2^2}=\frac{5}{4}=1{,}25,\quad b_2=\frac{5}{2^4}=\frac{5}{16}=0{,}3125.$$
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{5/16}{5/4}=\frac{1}{4}=0{,}25.$$