Упр.31.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных степеней числа 5. Установите, является ли она арифметической прогрессией.
2. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии $$b_n$$, если: а) $$b_2=-4$$, $$b_3=16$$; в) $$b_2=1{,}5$$, $$b_3=0{,}75$$; б) $$b_4=1$$, $$b_5=-\frac{1}{3}$$; г) $$b_3=-2$$, $$b_4=-6$$.

Рассмотрим последовательность натуральных степеней числа 5:

$$a_n=5^n,\quad n\in \mathbb{N}.$$

Первые члены:

$$a_1=5,\quad a_2=25,\quad a_3=125.$$

Найдём разности соседних членов:

$$d_1=a_2-a_1=25-5=20,$$

$$d_2=a_3-a_2=125-25=100.$$

Так как $$d_1\ne d_2,$$ последовательность не является арифметической прогрессией.

Для геометрической прогрессии используем формулу $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.$$

1. $$b_2=-4,\quad b_3=16.$$

   $$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{16}{-4}=-4,$$

   $$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{-4}{-4}=1.$$

2. $$b_4=1,\quad b_5=-\frac13.$$

   $$q=\frac{b_5}{b_4}=\frac{-\frac13}{1}=-\frac13,$$

   $$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{1}{\left(-\frac13\right)^3}=1\cdot(-27)=-27.$$

3. $$b_2=1{,}5,\quad b_3=0{,}75.$$

   $$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{0{,}75}{1{,}5}=0{,}5,$$

   $$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{1{,}5}{0{,}5}=3.$$

4. $$b_3=-2,\quad b_4=-6.$$

   $$q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{-6}{-2}=3,$$

   $$b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{-2}{3^2}=-\frac29.$$

Ответ

Последовательность $$a_n=5^n$$ не является арифметической прогрессией.

а) $$q=-4,\ b_1=1.$$

б) $$q=-\frac13,\ b_1=-27.$$

в) $$q=0{,}5,\ b_1=3.$$

г) $$q=3,\ b_1=-\frac29.$$