Упр.31.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Возрастающая последовательность состоит из натуральных чисел, которые при делении на $$6$$ дают в остатке $$5$$. Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.
2. Дана конечная геометрическая прогрессия $$(b_n)$$. Найдите $$b_n$$, если:
   а) $$b_1=0{,}2$$, $$q=5$$, $$n=5$$;
   в) $$b_1=4$$, $$q=0{,}5$$, $$n=7$$;
   б) $$b_1=-1{,}5$$, $$q=-\frac{1}{3}$$, $$n=4$$;
   г) $$b_1=0{,}001$$, $$q=5$$, $$n=5$$.

Пусть члены последовательности — это числа, которые при делении на 6 дают остаток 5. Тогда каждый такой член можно записать в виде

$$a_n=6n-1,\quad n\in \mathbb{N}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$d=a_{n+1}-a_n$$

$$d=\bigl(6(n+1)-1\bigr)-(6n-1)=6n+6-1-6n+1=6.$$

Разность постоянна, значит, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Для конечной геометрической прогрессии используем формулу

$$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$

1. $$b_1=0{,}2,\quad q=5,\quad n=5.$$

   $$b_5=0{,}2\cdot 5^4=0{,}2\cdot 625=125.$$

2. $$b_1=-1{,}5,\quad q=-\frac13,\quad n=4.$$

   $$b_4=-1{,}5\cdot \left(-\frac13\right)^3 =-1{,}5\cdot \left(-\frac1{27}\right) =\frac1{18}.$$

3. $$b_1=4,\quad q=0{,}5,\quad n=7.$$

   $$b_7=4\cdot 0{,}5^6 =4\cdot \frac1{64} =\frac1{16}.$$

4. $$b_1=0{,}001,\quad q=5,\quad n=5.$$

   $$b_5=0{,}001\cdot 5^4 =0{,}001\cdot 625 =0{,}625.$$

Ответ

Последовательность является арифметической прогрессией, $$d=6$$.

а) $$125$$; б) $$\frac1{18}$$; в) $$\frac1{16}$$; г) $$0{,}625$$.