Упр.31.1 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) 2, 5, 8, 11, …; г) 3, -1, -5, -9, …;
б) 1, 2, 4, 7, …; д) -8, -8, -8, -8, …;
в) 10, 5, 0, -5, …; е) 1, 3, 9, 27, … . Выясните, какая последовательность является геометрической прогрессией:
а) 1, 3, 9, 27, …; г) 15, 12, 9, 6, …;
б) 5, -1, 0,2, -0,04, …; д) v2, 2v2, 4v2, 8v2, …;
в) 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …; е) -10, 1, -0,1, 0,01, … .
Последовательность является арифметической прогрессией, если разность соседних членов постоянна: $$d=a_{n+1}-a_n.$$
а) $$2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots$$
$$d_1=5-2=3,\quad d_2=8-5=3,\quad d_3=11-8=3.$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
б) $$1,\ 2,\ 4,\ 7,\ldots$$
$$d_1=2-1=1,\quad d_2=4-2=2.$$
Разности разные, значит, это не арифметическая прогрессия.
в) $$10,\ 5,\ 0,\ -5,\ldots$$
$$d_1=5-10=-5,\quad d_2=0-5=-5,\quad d_3=-5-0=-5.$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
г) $$3,\ -1,\ -5,\ -9,\ldots$$
$$d_1=-1-3=-4,\quad d_2=-5-(-1)=-4,\quad d_3=-9-(-5)=-4.$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
д) $$-8,\ -8,\ -8,\ -8,\ldots$$
$$d_1=-8-(-8)=0,\quad d_2=-8-(-8)=0,\quad d_3=-8-(-8)=0.$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
е) $$1,\ 3,\ 9,\ 27,\ldots$$
$$d_1=3-1=2,\quad d_2=9-3=6.$$
Разности разные, значит, это не арифметическая прогрессия.
Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение соседних членов постоянно: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.$$
а) $$1,\ 3,\ 9,\ 27,\ldots$$
$$q_1=\frac{3}{1}=3,\quad q_2=\frac{9}{3}=3,\quad q_3=\frac{27}{9}=3.$$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
б) $$5,\ -1,\ 0{,}2,\ -0{,}04,\ldots$$
$$q_1=\frac{-1}{5}=-0{,}2,\quad q_2=\frac{0{,}2}{-1}=-0{,}2,\quad q_3=\frac{-0{,}04}{0{,}2}=-0{,}2.$$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
в) $$\frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ldots$$
$$q_1=\frac{\frac13}{\frac12}=\frac23,\quad q_2=\frac{\frac14}{\frac13}=\frac34.$$
Отношения разные, значит, это не геометрическая прогрессия.
г) $$15,\ 12,\ 9,\ 6,\ldots$$
$$q_1=\frac{12}{15}=\frac45,\quad q_2=\frac{9}{12}=\frac34.$$
Отношения разные, значит, это не геометрическая прогрессия.
д) $$\sqrt2,\ 2\sqrt2,\ 4\sqrt2,\ 8\sqrt2,\ldots$$
$$q_1=\frac{2\sqrt2}{\sqrt2}=2,\quad q_2=\frac{4\sqrt2}{2\sqrt2}=2,\quad q_3=\frac{8\sqrt2}{4\sqrt2}=2.$$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
е) $$-10,\ 1,\ -0{,}1,\ 0{,}01,\ldots$$
$$q_1=\frac{1}{-10}=-0{,}1,\quad q_2=\frac{-0{,}1}{1}=-0{,}1,\quad q_3=\frac{0{,}01}{-0{,}1}=-0{,}1.$$
Отношение постоянно, значит, это геометрическая прогрессия.
Ответ
Арифметическая прогрессия: а), в), г), д).
Не являются арифметической прогрессией: б), е).
Геометрическая прогрессия: а), б), д), е).
Не являются геометрической прогрессией: в), г).
