Упр.30.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Задайте последовательность рекуррентным способом и ответьте на вопрос задачи:
а) Хозяин решил выкопать на участке колодец и укрепить его стенки с помощью бетонных колец. Он договорился с мастером об оплате за работу по тарифу: установка первого кольца стоит $$4500\ \text{р.}$$, а установка каждого следующего кольца на $$1700\ \text{р.}$$ дороже предыдущего. Чему равна стоимость установки пятого кольца? Сколько рублей будет стоить вся работа, если потребуется пять колец?
б) Камешек, брошенный с высоты, в первую секунду пролетает $$4\ \text{м}$$, а в каждую следующую — на $$9{,}8\ \text{м}$$ больше, чем в предыдущую. Сколько метров пролетит камешек в четвёртую секунду? Сколько метров он пролетит за 4 секунды? - а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на $$5$$ и не делятся на $$11$$.
б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на $$11$$ и не делятся на $$5$$.
а) Обозначим стоимость установки $$n$$-го кольца через $$a_n$$. Тогда
$$a_1=4500,\quad a_n=a_{n-1}+1700.$$
Найдём стоимость пятого кольца:
$$a_2=4500+1700=6200,\\ a_3=6200+1700=7900,\\ a_4=7900+1700=9600,\\ a_5=9600+1700=11300.$$
Сумма стоимости всех пяти колец:
$$S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4500+6200+7900+9600+11300=39500.$$
б) Обозначим путь, пройденный камешком в $$n$$-ю секунду, через $$a_n$$. Тогда
$$a_1=4,\quad a_n=a_{n-1}+9{,}8.$$
Найдём путь в четвёртую секунду:
$$a_2=4+9{,}8=13{,}8,\\ a_3=13{,}8+9{,}8=23{,}6,\\ a_4=23{,}6+9{,}8=33{,}4.$$
За 4 секунды камешек пролетит:
$$S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=4+13{,}8+23{,}6+33{,}4=74{,}8.$$
а) Сумма всех трёхзначных чисел, кратных $$5$$, равна сумме арифметической прогрессии
$$100,105,110,\dots,995.$$
Чисел в ней:
$$n=\frac{995-100}{5}+1=180.$$
Тогда
$$S_{5}=\frac{100+995}{2}\cdot 180=98550.$$
Исключим трёхзначные числа, кратные и $$5$$, и $$11$$, то есть кратные $$55$$:
$$110,165,\dots,990.$$
Чисел в этой прогрессии:
$$n=\frac{990-110}{55}+1=17.$$
Их сумма:
$$S_{55}=\frac{110+990}{2}\cdot 17=9350.$$
Искомая сумма:
$$S=98550-9350=89200.$$
б) Сумма всех трёхзначных чисел, кратных $$11$$, равна сумме прогрессии
$$110,121,132,\dots,990.$$
Чисел в ней:
$$n=\frac{990-110}{11}+1=81.$$
Тогда
$$S_{11}=\frac{110+990}{2}\cdot 81=44550.$$
Исключим числа, кратные и $$11$$, и $$5$$, то есть кратные $$55$$:
$$110,165,\dots,990.$$
Их сумма уже найдена:
$$S_{55}=9350.$$
Следовательно,
$$S=44550-9350=35200.$$
Ответ
а) $$11300$$ р.; $$39500$$ р.; б) $$33{,}4$$ м; $$74{,}8$$ м; а) $$89200$$; б) $$35200$$.
