Упр.30.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) Хозяин решил выкопать на участке колодец и укрепить его стенки с помощью бетонных колец. Он договорился с мастером об оплате за работу по тарифу: установка первого кольца стоит 4500 р., а установка каждого следующего кольца на 1700 р. дороже предыдущего. Чему равна стоимость установки пятого кольца? Сколько рублей будет стоить вся работа, если потребуется пять колец?
б) Камешек, брошенный с высоты, в первую секунду пролетает 4 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Сколько метров пролетит камешек в четвёртую секунду? Сколько метров он пролетит за 4 секунды? а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 5 и не делятся на 11.
б) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 11 и не делятся на 5.
а) Обозначим стоимость установки $n$-го кольца через $a_n$. Тогда
$$a_1=4500,\quad a_n=a_{n-1}+1700.$$
Найдём стоимость пятого кольца:
$$ a_2=4500+1700=6200,\\ a_3=6200+1700=7900,\\ a_4=7900+1700=9600,\\ a_5=9600+1700=11300. $$
Сумма стоимости всех пяти колец:
$$ S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4500+6200+7900+9600+11300=39500. $$
б) Обозначим путь, пройденный камешком в $n$-ю секунду, через $a_n$. Тогда
$$a_1=4,\quad a_n=a_{n-1}+9{,}8.$$
Найдём путь в четвёртую секунду:
$$ a_2=4+9{,}8=13{,}8,\\ a_3=13{,}8+9{,}8=23{,}6,\\ a_4=23{,}6+9{,}8=33{,}4. $$
За 4 секунды камешек пролетит:
$$ S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=4+13{,}8+23{,}6+33{,}4=74{,}8. $$
а) Сумма всех трёхзначных чисел, кратных $5$, равна сумме арифметической прогрессии
$$100,105,110,\dots,995.$$
Чисел в ней:
$$ n=\frac{995-100}{5}+1=180. $$
Тогда
$$ S_{5}=\frac{100+995}{2}\cdot 180=98550. $$
Исключим трёхзначные числа, кратные и $5$, и $11$, то есть кратные $55$:
$$110,165,\dots,990.$$
Чисел в этой прогрессии:
$$ n=\frac{990-110}{55}+1=17. $$
Их сумма:
$$ S_{55}=\frac{110+990}{2}\cdot 17=9350. $$
Искомая сумма:
$$ S=98550-9350=89200. $$
б) Сумма всех трёхзначных чисел, кратных $11$, равна сумме прогрессии
$$110,121,132,\dots,990.$$
Чисел в ней:
$$ n=\frac{990-110}{11}+1=81. $$
Тогда
$$ S_{11}=\frac{110+990}{2}\cdot 81=44550. $$
Исключим числа, кратные и $11$, и $5$, то есть кратные $55$:
$$110,165,\dots,990.$$
Их сумма уже найдена:
$$S_{55}=9350.$$
Следовательно,
$$ S=44550-9350=35200. $$
Ответ
а) $11300$ р.; $39500$ р.; б) $33{,}4$ м; $74{,}8$ м; а) $89200$; б) $35200$.
